OliForum Matematico

Salve. Qualche giorno fa su un altro forum (quello di Matematicamente.it) è stato proposto un problema di geometria, che non ha trovato risposta. Mi ci sto scervellando da allora ma non ne vengo a capo. Quello che vorrei è che qualcuno mi spiegasse come risolvere la prima parte (non tutto il problema), i.e. come provare la tangenza tra BC e la circonferenza. Ho pensato che magari con un approccio di tipo olimpico potevate illuminarmi.
Vi lascio il testo del problema.
Grazie.

Data una circonferenza, da un punto A esterno ad essa si conduce la secante AB = 81a, la cui parte esterna è AD, e la secante AC = 51a la cui parte esterna è AE. Sapendo che EC = ED e che BC = 72a, verificare che BC è tangente alla circonferenza ADC e determinare il perimetro dei triangoli ABE e BCF, essendo F il punto comune alle corde BE e CD.

domanda...
ma i punti B e C sono esterni alla circonferenza?
o solo uno dei due? [il segmento BC tangente in B o C]

è carino come problema, ma se sono esterni....

[img=http://img87.imageshack.us/img87/9866/adavi9.th.png]
Dalla similitudine dei triangoli ACB e ADE si ricava:
BC:AB=DE:AE .Sommando : (BC+AB):BC=(DE+AE): DE e quindi:
DE=(72a*51a)/(153a)=24a=CE,AE=AC-CE=51a-24a=27a
Per la stessa similitudine risulta:
BC:AC=DE:AD da cui AD=(51a*24a)/(72a)=17a
BD=AB-AD=81a-17a=64a
Ora è :
BC^2=(72^2)*(a^2)=(9^2)*(8^2)(a^2)=(81a)*(64a)=AB*BD e ciò prova ,per il
teorema della tangente e della secante,che BC è tangente alla crf (ACD).
Se per semplicità poniamo ECD=EDC=DBE=EBC=a ( da non confondere con la "a" misura !)
CAD=DCB=DEB=b ,per noti teoremi si ha che :
DFB=EDF+DEF=a+b,FDB=CDB=ACD+DAC=a+b e quindi FB=BD=64a
FEC=CDB=a+b,EFC=DFB=a+b e quindi FC=CE=24a
Pertanto:
2p(BCF)=BC+FB+FC=72a+64a+24a=160a
ECB=a+b=FEC e quindi BE=BC=72a .
Pertanto:
2p(ABE)=AB+BE+AE=81a+72a+27a=180a
Bonus .
Siano :G l'intersezione di DE e BC ed M,N le intersezioni di GF con la crf (BCED).
Dimostrare che M ed N sono proprio i punti di contatto di tale crf con le tangenti
ad essa condotte dal punto A
[per i cultori della geometria proiettiva sarà uno scherzo !]
karl

karl....guarda che , come ho gia scritto, se i punti sono sulla circonferenza diventa una stupidata....
considera che quella soluzione l'ho trovata anchio che faccio l'itc [nada geometria]

però mica avevo capito che c'era una seconda circonferenza XD, allora si ....sepur il problema resta ugualmente facile

saluti marx

Erre ha scritto:domanda...
ma i punti B e C sono esterni alla circonferenza?
o solo uno dei due? [il segmento BC tangente in B o C]

è carino come problema, ma se sono esterni....

Erre ha scritto:karl....guarda che , come ho gia scritto, se i punti sono sulla circonferenza diventa una stupidata....
considera che quella soluzione l'ho trovata anchio che faccio l'itc [nada geometria]
però mica avevo capito che c'era una seconda circonferenza XD, allora si ....sepur il problema resta ugualmente facile
saluti marx

dato che AB e AC sono delle secanti e si puntualizza che le parti esterne sono AD e AE, BC appartengono ovviamente alla circonferenza (se B e C non appartenessero avremmo 2 parti esterne, mentre e' specificato che c'e' ne solo una)

se BC e' tangente alla circonferenza ADC, lo sara' in C ovviamnete

Il testo parla esplicitamente di 2 circonferenze

Erre, non siamo qui per disquisire se i probl sono facili o meno, ma per risolverli per allenarsi alle gare (e anche per diletto proprio). Se hai una soluzione diversa postala.

@karl
Grazie mille per avere soddisfatto la mia curiosità.
Se non è chiedere troppo, potrsti provare (magari in spoiler) la tua "bonus question": non conosco minimamente la geometria proiettiva, ma conserverei la soluzione per poi rivederla a tempo debito.
Grazie.

Mi limito a qualche definizione e a qualche proprietà,lasciando
le relative dimostrazione a tempi...più maturi.
Si definisce "quadrangolo completo" la figura formata da quattro
punti complanari e dai sei lati ottenuti congiungendo a due a due
gli stessi punti ( in pratica i quattro lati e le due diagonali).
I punti d'intersezione delle due coppie di lati opposti e
delle diagonali formano il cosiddetto "triangolo diagonale".
Se il quadrangolo è inscritto in una conica ( in particolare,in una
circonferenza) allora il triangolo diagonale è "autopolare rispetto
alla conica" nel senso che ogni suo lato è la polare del vertice
ad esso opposto e reciprocamente.La polarità rispetto ad una conica è una
particolare corrispondenza punto-retta in cui il punto è il polo
e la retta corrispondente è la polare.
Ciò detto,si dimostra che ,in una polarità rispetto ad una conica,la
polare di un punto (appartenente al piano della conica) taglia la conica
medesima proprio nei punti di contatto delle tangenti condotte alla conica
da quel punto.
Qualcosina del genere si studia anche al liceo quando si parla della cosiddetta
"formula di sdoppiamento" utilizzata per trovare la tangente ad una conica
in un suo punto o le tangenti condotte ad una conica da un punto ad essa esterno.
Nel caso in questione,il quadrangolo completo è BCED ( inscritto nella
circonferenza (BCED) ) ed il triangolo diagonale è AGF.Applicando il teorema
ultimo ricordato,vediamo che GF è la polare del vertice A e dunque essa taglia
la circonferenza nei punti di contatto indicati.
karl

karl ha scritto:Mi limito a qualche definizione e a qualche proprietà,lasciando
le relative dimostrazione a tempi...più maturi.
Si definisce "quadrangolo completo" la figura formata da quattro
punti complanari e dai sei lati ottenuti congiungendo a due a due
gli stessi punti ( in pratica i quattro lati e le due diagonali).
I punti d'intersezione delle due coppie di lati opposti e
delle diagonali formano il cosiddetto "triangolo diagonale".
Se il quadrangolo è inscritto in una conica ( in particolare,in una
circonferenza) allora il triangolo diagonale è "autopolare rispetto
alla conica" nel senso che ogni suo lato è la polare del vertice
ad esso opposto e reciprocamente.La polarità rispetto ad una conica è una
particolare corrispondenza punto-retta in cui il punto è il polo
e la retta corrispondente è la polare.
Ciò detto,si dimostra che ,in una polarità rispetto ad una conica,la
polare di un punto (appartenente al piano della conica) taglia la conica
medesima proprio nei punti di contatto delle tangenti condotte alla conica
da quel punto.
Qualcosina del genere si studia anche al liceo quando si parla della cosiddetta
"formula di sdoppiamento" utilizzata per trovare la tangente ad una conica
in un suo punto o le tangenti condotte ad una conica da un punto ad essa esterno.
Nel caso in questione,il quadrangolo completo è BCED ( inscritto nella
circonferenza (BCED) ) ed il triangolo diagonale è AGF.Applicando il teorema
ultimo ricordato,vediamo che GF è la polare del vertice A e dunque essa taglia
la circonferenza nei punti di contatto indicati.
karl

OK. Grazie mille.

P.S.
Scusami se ci ho messo tanto per rispondere ma sono parecchio impegnato.