OliForum Matematico

questo va giusto giusto a pennello, per chi inizia..

Dati $ n $ computer sappiamo che ognuno di essi è perfettamente con probabilità $ \frac{\pi}{6} $. Sapendo che questi computer vengono messi tutti in rete, e ogni rete funziona solo se almeno la metà dei suoi computer è perfettamente funzionante, è più probabile che funzioni una rete con $ 2009 $ computer o con $ 2007 $? Se $ p=\frac{\pi}{7} $ il risultato sarebbe lo stesso?


(forse teppic riconoscerà la fonte.. )

secondo me è più probabile che la rete funzioni con 2009 computer perchè pi greco/6 > 1/2. Meglio 2007 computer se le probabilità sono pi greco/7.

invuniros ha scritto:secondo me...

e perchè?

alur io ho fatto questa formula per calcolare la probabilità che n/2 elementi su n elementi siano valore 1 considerando che la probabilità che un elemento sia valore 1 sia pari a x

f(n,x)=x^(n/2)*n!/[(n/2)!]^2*x^n

la formula vale solo per n pari (se è dispari si fa ++)

cmq la formula è errata... spero che qualcuno corregga...
cmq ora la spiego chiaramente:

x^(n/2)=probabilità che la metà degli elementi sia valore 1
n!/[(n/2)!]^2=i possibili ordinamenti di n/2 elementi
x^n=combianazioni possibili in assoluto (sia favorevoli che non)
quindi, dato che la formula della probabilità è casi favorevoli / casi possibili,
casi favorevoli=x^(n/2)*n!/[(n/2)!]^2
casi possibili=x^n

So bene che a occhio il problema si risolve senza problemi ;) ma volevo farlo in modo serio... spero che qualcuno mi corregga la funzione please...

p.s. se qualcuno si dovesse lamentare che non ho scritto usando latex glielo dico subito... non lo so usare.

dario2994 ha scritto: p.s. se qualcuno si dovesse lamentare che non ho scritto usando latex glielo dico subito... non lo so usare.

E io te lo dico subito: impara! non è difficile e c'è una sezione apposita del forum con un sacco di esempi e un thread dove provare a postare.

Alur nel poco tempo che è passato dal post precedente ho imparato mooooolto di probabilità e combinatoria e ho imparato latex quindi riscrivo la formula
n=numero di computer;
p=probabilità che un computer sia acceso
$ $P(n,p)=\binom{n}{\frac{n+1}{2}}\left(\frac{\pi}{6}\right)^{\frac{n+1}{2}}$ $
Non mi va ora di fare tutti i calcoli ma penso che la formula sia esatta :)

dario2994 ha scritto:Alur nel poco tempo che è passato dal post precedente ho imparato mooooolto di probabilità e combinatoria e ho imparato latex quindi riscrivo la formula
n=numero di computer;
p=probabilità che un computer sia acceso
$ $P(n,p)=\binom{n}{\frac{n+1}{2}}\left(\frac{\pi}{6}\right)^{\frac{n+1}{2}}$ $
Non mi va ora di fare tutti i calcoli ma penso che la formula sia esatta

Occhio, quella formula è la probabilità che esattamente $ \frac{n+1}2 $ computer siano accesi, tu vuoi quella che almeno quel numero di computer siano accesi.
Poi nessuno poi vuole davvero che tu ti faccia tutti quei contacci... se quel problema sta qui è perché esiste una soluzione che ti permetta di dire qual è la risposta senza farli.

Complimenti per i progressi con il LaTeX intanto!

no scusa... quella formula dovrebbe essere giusta... quella che regola la presenza di n+1/2 computer accesi precise è
$ $P(n,p)=\binom{n}{\frac{n+1}{2}}\left(p\right)^{\frac{n+1}{2}}\left(1-p\right)^{\frac{n-1}{2}}$ $

e comunque non vedo come si possa risolvere un problema come questo senza l'uso della combinatoria...

Uhm, giusto, mi correggo, quella non è la probabilità che esattamente (n+1)/2 computer siano accesi, mi ero perso l'(1-p). Ma mi sembra comunque che non sia neppure la probabilità che almeno (n+1)/2 computer siano accesi. Puoi scrivere come ci sei arrivato?

e comunque non vedo come si possa risolvere un problema come questo senza l'uso della combinatoria...

Uh, piccolo malinteso... un po' di combinatoria serve senza dubbio, intendevo dire che si può rispondere alla domanda di Jordan (quale è maggiore tra p(2009) e p(2007)?) senza dover fare esplicitamente una quantità di calcoli superiore alle possibilità di un essere umano.

$ $P(n,p)=\binom{n}{\frac{n+1}{2}}\left(p\right)^{\frac{n+1}{2}}$ $

a questa formula ci sono arrivato cosi :
$ $\left(p\right)^{\frac{n+1}{2}}$ $
è la probabilità che i primi n+1/2 computer siano accesi, ma dato che non devono essere per forza i primi moltiplico per le possibili disposizioni di n+1/2 elementi su n spazi cioè:
$ $\binom{n}{\frac{n+1}{2}}$ $
Tu mi dicevi che questo calcolava la probabilità che ci fossero n+1/2 computer accesi precisi... ma non è cosi dato che io non bado proprio agli altri pc, sia che siano accesi sia che non lo siano... a me basta che la metà lo sia :)

jordan ha scritto:... e ogni rete funziona solo se almeno la metà dei suoi computer è perfettamente funzionante ...

Quindi almeno la metà$ \displaystyle=\frac{n+1}{2} $?

@dario: se fai questo ragionamento nessuno ti garantisce che (indipendentemente dai discorsi di probabilità) tutti i casi che consideri siano diversi tra loro.
Prendi ad es. il caso in cui tutti i computer sono perfettamente funzionanti:
lo stai considerando $ \displaystyle{n\choose \frac{n+1}{2}} $ volte anziché una volta sola

La probabilità che almeno $ \frac{n+1}{2} $ computer funzioni è la somma delle probabilità che ne funzionino esattamente $ \frac{n+1}{2} $, $ \frac{n+1}{2}+1 $, ... , $ n $. Dunque la formula è $ \sum_{i=\frac{n+1}{2}}^{n} \binom{n}{i} (\frac{\pi}{6})^i (1-\frac{\pi}{6})^{n-i} $.

Che brutta formula! Poniamo il problema altrimenti: presi 2007 computer, conviene o no aggiungerne 2? Se ce ne sono già 1005 funzionanti, allora è indifferente, perché la rete funziona e funzionerà, se ne funzionano al massimo 1002, è indifferente perché la rete non funziona e non funzionerà. Qual è la probabilità che ne funzionino, dei 2007, esattamente 1003 e che entrambi i nuovi funzionino? E' maggiore o minore della probabilità che ne funzionino 1004 dei 2007 ma che dei due nuovi non ne funzioni nessuno?