OliForum Matematico

Trovare tutti i triangoli tali che tutte le tangenti dei loro angoli siano intere.

$ ~\mathbb{Z} $ o $ ~\tilde{\mathbb{Z}} $?

L'ho visto tante di quelle volte sta tilde..credo che intendo in $ \mathbb{Z} $ solito, ma precisamente quale sarebbe la differenza?

con la tilde e' l'insieme "normale" con aggiunti gli infiniti. generalmente si usa coi reali o i complessi
$ ~\tilde{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty,+\infty\} $

ovvero se $ ~\tilde{\mathbb{Z}} $ possiamo includere anche il triangolo rettangolo isoscele ponendo $ ~\tan{\frac{\pi}{2}}=+\infty $, che in questo insieme e' possibile.

Si, solo una picchiataggine matematica in questo caso.

SkZ ha scritto:Si, solo una picchiataggine matematica in questo caso.

Si vabbe anche se fosse con la nuova "tilde" si aggiungerebbe una sola soluzione

Hint

http://mathworld.wolfram.com/Tangent.html formula 19

SkZ ha scritto:Hint

http://mathworld.wolfram.com/Tangent.html formula 19

Commento sull'hint

Io credo la 9 possa bastare

Lo stato in cui mi trovo:

Avevo già pensato alla nota formuletta tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC, e so che le uniche soluzioni in interi positivi sono tan(A)=1, tan(B)=2 e tan(C)=3 e relative permutazioni (poi allargando il campo a Z si aggiungono altre soluzioni, tutte piuttosto banali da trovare). Se non ho postato è perchè non so come accidenti dimostrarlo e la tecnica dimostrativa presentata nella firma di julio90 ("Nessuno, ma chi se ne fotte") non mi si confà

Siccome stiate riempendo di hint, mi ci metto anch'io

Pidgeonhole + formula 9

Hint:

Ve la credevate, eh? Ci siete cascati in pieno

Scemo chi legge?

Visto che si sta degenerando io scrivo la mia soluzione... chi non vuole leggere non legga (il bianco scoccia dopo un po':lol: )

Uno dei tre angoli deve essere minore o uguale della media aritmetica, ossia 60°. L'unico angolo avente tangente intera e minore o uguale di 60° è 45°, ossia tangente pari a 1 (si vede anche perchè $ tg 60° < 2 $. Quindi un angolo è di 45° gradi.

Ora chiamo i due angoli $ \alpha,\beta $, allora avremo dalla ormai nota formula 9 che

$ \displaystyle tg \beta=-\frac{1+tg \alpha}{1-tg \alpha} $

Poichè $ tg \alpha $ è intero ottengo che $ tg \alpha=0,-1,2,3 $...
escludendo i primi due casi perchè sono triangoli degeneri, ho due soluzioni, riducibili per verifica diretta a questa: $ (45°,arctg 2,arctg 3) $