OliForum Matematico

siano a,b,c,d numeri naturali minori di x , altro numero naturale positivo
poniamo che
a/b - c/d in modulo sia uguale ad n , numero reale positivo (diverso da zero)
trovare il minimo n possibile

Ma intendi in funzione di x?

sisi

Ok, era solo per chiedere...non preoccuparti, non posto la soluzione...non vorrei commettere un infanticidio

va bè... ma qualcuno risponde??
ah, mi sono scordato di aggiungere own nel titolo

exodd ha scritto:siano ab,c,d numeri naturali minori di x

A scanso di equivoci, penso che tra $ a $ e $ b $ ci sia una virgola

exodd ha scritto:Siano $ (a,b,c,d,x) \in (\mathbb{N}_0)^5 $ tali che $ \max\{a,b,c,d\}<x $ fissati. Trovare $ 0<n:=\min\{|\frac{a}{b}-\frac{c}{d}|\} $.

Soluzione. Ovviamente $ x>2 $. Se $ b=d $ allora $ \min\{|\frac{a}{b}-\frac{c}{d}|\}=\frac{1}{x-1} $. Se $ b \neq d $ allora $ \frac{1}{x-1} \ge \min\{|\frac{a}{b}-\frac{c}{d}|\} \ge \frac{1}{(x-1)(x-2)}:=n $, verificato in $ a=b-x+3=c=d-x+2=1 $.

anch'io sono arrivato alla stessa conclusione.....ma ho 2 domande:
1) perchè hai fatto i 2 casi b=d e b<>d? b=d non minimizza n quindi non è inutile considerarlo?
2)come si dimostra che quella configurazione è quella che minimizza n? In effetti sembra sia cosi ma si può fare una dimostrazione generale?

quesito bonus:

Siano $ (a,b,c,d,x) \in (\mathbb{N}_0)^5 $ tali che $ \max\{a,b,c,d\}<x $ fissati. Trovare $ 0<n:=\min\{|\frac{a}{b}-\frac{c}{d}|\} $.

con a diverso da c e b diverso da d

da prima abbiamo che n è minimo se a/b-c/d è uguale a 1/(x-2)-1/(x-1) che però equivale sempre a (x-2)/(x-1)-(x-3)/(x-2) che invece soddisfa le nuove condizioni.
Quindi a=x-2
b=x-1
c=x-3
d=x-2

Scusate per come scrivo ma ancora nn ho avuto tempo di imparare il latex

Maioc92 ha scritto:2)come si dimostra che quella configurazione è quella che minimizza n? In effetti sembra sia cosi ma si può fare una dimostrazione generale?

Devi minimizzare $ \displaystyle |\frac{ad-bc}{bd}| $. Otteniamo sicuramente il minimo se minimizzi il numeratore e anche massimizzi il denominatore.

exodd ha scritto:Quesito bonus.
Siano $ (a,b,c,d,x) \in (\mathbb{N}_0)^5 $ tali che $ \max\{a,b,c,d\}<x $ fissati. Trovare $ n:=\min\{|\frac{a}{b}-\frac{c}{d}|\} $sotto il vincolo $ |(ad-bc)(a-c)(b-d)|>0 $.

Maioc92 ha scritto:Da prima abbiamo che $ n:=\min\{|\frac{a}{b}-\frac{c}{d}|\} $ è uguale a $ \displaystyle n=|\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}|=|\frac{x-2}{x-1}-\frac{x-3}{x-2}| $ che invece soddisfa le nuove condizioni.

Ciò che dici è vero solo se $ x>3 $; nel caso rimanente wlog $ a=c-1=1 $ e $ bd=2 $ da cui $ n=\frac{3}{2} $.