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Dimostrare nella maniera più semplice possibile che il massimo di $ \displaystyle \frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{max(x, y, z)} $ si ha per $ x=y=z $. Io sono riuscito solo a togliere di mezzo una variabile.

P.S. Il fatto che sia, appunto, own, insieme al fatto che io sono io, indica che ci sono ottime probabilità che la soluzione sia di una banalità sconcertante; spero che nessuno se ne abbia a male...

Mm non mi è chiaro. Sia $ f(x,y,z) $ quella cosa. Intendi che per ogni t, x,y e z avviene$ f(t,t,t)\geq f(x,y,z) $?
Sicuro non serva che siano positivi?

Detto ciò, scrivo una cosa: nel caso di uguaglianza abbiamo che quella cosa vale $ \sqrt{3} $. Bene, adesso sia $ x $ il massimo. Dobbiamo mostrare che $ \sqrt{x^2+y^2+z^2}\leq \sqrt{3} x $. Se sono positivi, elevare al quadrato e finire.

Mi sembra semplice...anche dopo l'avvertimento

Supponiamo wlog che $ x $ sia il massimo. Allora

$ x^2+y^2+z^2\leq 3x^2 $

con uguaglianza sse $ x=y=z $, e quindi

$ \displaystyle\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{max\{x,y,z\}}= \frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{x} \leq \frac{\sqrt{3x^2}}{x} =\sqrt 3 $
e l'uguaglianza vale appunto sse $ x=y=z $.

Penso sia il modo più semplice...

Solito ritardo da LaTeX (e da lentezza del computer)

PS in effetti serve che siano positivi...

Già, era proprio una banalità, non ci ho pensato abbastanza.

@g(n)&pic88: nisùn problema, sono tre numeri reali positivi.

Grazie e grazie ancora.
Ob