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Per quali n interi positivi $ 2^{n+2}|3^{2^n}-1 $?
Secondo voi a che livello è questa?

Credo che

valga per tutti gli n maggiori di 0: in tal caso si può svolgere la differenza di potenze pari al secondo membro n volte e il risultato conterrà il giusto numero di fattori 2, come rapide considerazioni sulla parità dimostrano.

Per la mia poca esperienza, mi sembra da Febbraio.

Bye
Ob

Io non ho mai capito una cosa...
Ma $ 3^{2^n}=3^{(2^n)} $?
O no? E se no, cosa che credo, cosa cambia?

Sì sì, è come dici tu. In generale quando si ha una "torre" di potenze, si parte da quella più interna, cioè quella più "alta". Per esempio
$ 2^{3^{4^{5}}}=2^{(3^{(4^5)})} $
e se ci pensi le parentesi sono come le scrivi in LaTeX

Fedecart ha scritto:Io non ho mai capito una cosa...
Ma $ 3^{2^n}=3^{(2^n)} $?
O no? E se no, cosa che credo, cosa cambia?

Sisi è come dici tu.per esempio se n=1 è$ 3^2 $, se n=2 è $ 3^4 $, se n=3 è $ 3^8 $ e così via...

Inkio ha scritto:Per quali n interi positivi $ 2^{n+2}|3^{2^n}-1 $?
Secondo voi a che livello è questa?

Io la avevo risolta per induzione...
(1) è banalmente vera per n=1
(2)supponiamo per ipotesi induttiva che $ 2^{n+2}|3^{2^n}-1 $, e se supponendo questo vero è vero che $ 2^{n+2+1}|3^{2^{n+1}}-1 $ abbiamo vinto.
dato che$ 3^{2^{n+1}}-1=3^{2^n}*3^{2^n}-1 $ e per ipotesi induttiva $ 3^{2^n}=1 (mod 2^{n+2}) $ (perdonatemi, non sono bravo a usare latex, qualcuno sa come si scrivono le congruenze? ), allora $ 3^{2^n}*3^{2^n}-1=(2^{n+2}k +1)^2-1 $ Quindi se noi dimostriamo che $ 2^{n+2+1}|(2^{n+2}k+1)^2-1 $vinciamo.Ora basta sviluppare il quadrato ed abbiamo vinto....

Secondo me è carina come dimostrazione...

$ 2^{\alpha+1}||a^2-b^2 $ e $ 2^{\beta}||n \implies 2^{\alpha+\beta}||a^n-b^n $

jordan ha scritto:$ 2^{\alpha+1}||a^2-b^2 $ e $ 2^{\beta}||n \implies 2^{\alpha+\beta}||a^n-b^n $

Cosa significa il simbolo$ || $?

E' un "divide esattamente". Si dice che $ p^{a}\vert \vert n $ quando $ a $ è la massima potenza di $ p $ che divide $ n $.

C'è anche un concetto, quello di valutazione p-adica (guarda su wikipedia, dovrebbe esserci) che puoi trovare al posto di questa cosa. In questo caso, $ v_p(n)=a $.

Inkio ha scritto: come si scrivono le congruenze?

$ a\equiv b $