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Dato un triangolo ABC, sia S un punto sull'asse di AB e sia T l'intersezione dell'asse di AC con la retta simmetrica di AS rispetto alla bisettrice interna di $ \angle BAC $.
La mediana di ABC da A interseca l'asse di AB in D e l'asse di AC in E. Sia $ F: BD \cap CE $ (chiaramente F sta anche sulla simmediana di ABC da A).

Dimostrare che l'inviluppo di ST al variare di S sull'asse di AB è una parabola di direttrice la mediana di ABC da A e fuoco F.


[per inciso è interessante notare che se si ripete il procedimento sugli altri 2 lati i fuochi delle 3 parabole così ottenute sono i vertici del secondo triangolo di Brocard e quindi stanno sul cerchio di brocard che ha diametro OK (con O il circocentro e K il punto di Lemoine)]

Non sarebbe meglio spiegare cosa sono madiana, mediana e simmediana? Io conosco solo la mediana di un triangolo, ma nel tuo testo non citi alcun triangolo.

gianmaria ha scritto:Non sarebbe meglio spiegare cosa sono madiana, mediana e simmediana? Io conosco solo la mediana di un triangolo, ma nel tuo testo non citi alcun triangolo.

vabè era scontato che con mediana da A si intendeva la mediana di ABC da A, comunque ho modificato il testo, forse ora è un po' più chiaro

wo, abbiamo una bella soluzione da jack aka elianto84:

Traccia di soluzione:

1)Teorema di apollonio per dimostrare che l'inviluppo e' una parabola.
2)Lemma 1: presa una parabola e tre tangenti distinte ad essa, l'ortocentro del triangolo che esse formano sta sulla direttrice della parabola.
3)Lemma 2: presa una parabola e tre tangenti distinte ad essa, la crf circoscritta al triangolo che esse formano passa per il fuoco della parabola.

rilancio con fatti noti:

Sia ABC un triangolo e ABR, BCS e CAT triangoli simili isosceli con basi rispettivamente AB, CB, CA (nello stesso verso rispetto ad AB,BC,CA).
Come noto CR, AS, BT concorrono sull' iperbole di Kiepert quindi per desargues ABC e RST avranno un asse prospettico che chiamiamo r.

1)Dimostrare che l'inviluppo di r al variare di R sull'asse di AB è una parabola (detta parabola di Kiepert) di direttrice la retta di Eulero.

Inoltre chiamiamo A', B', C' i punti di tangenza di tale parabola con BC, CA, AB. Il triangolo A'B'C' è detto triangolo di Steiner ed è prospettico con ABC con centro Il punto di Stainer che chiamiamo Z.

2) Dimostrare che S sta sulla crf circoscritta ad ABC.

3) Dimostrare che il coniugato isotomico di Z rispetto a ABC sta sulla parabola di Kiepert.

4) Dimostrare che il coniugato isogonale del coniugato isotomico di Z è il fuoco della parabola di Kiepert e sta sulla crf circoscritta ad ABC

5) Chiamiamo $ S_1 $ e $ S_2 $ i due punti isodinamici di ABC e G il baricentro di ABC. La circonferenza circoscritta ad $ GS_1S_2 $ (crf di Perry) interseca la crf circoscritta a ABC in due punto, uno dei quali è il fuoco della parabola di Kiepert (l'altro è il punto di Perry). Inoltre l'asse radicale tra la crf di Perry e quella circoscritta passa per il punto di Lemoine.