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Lemma. Dati $ a,b,c $ reali positivi allora se la quantità $ E=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)>0 $ esiste un triangolo di lati $ a,b,c $.

Problema. Abbiamo che le condizioni:
i)$ x,y,z $ reali positivi;
ii)$ xyz \le 2 $;
iii)$ \displaystyle \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2} < k $, per qualche $ k \ge 2 $
implicano che esiste un triangolo di lati $ x,y,z $.
Quali sono i possibili valori di $ k $?

Lemma: Dobbiamo dimostrare che $ 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)>0 $.
Consideriamo l'espressione come un'equazione di secondo grado in $ a^2 $, si ha:
$ -a^4+a^22(b^2+c^2)-(b^4+c^4-2b^2c^2) $. Calcolando le soluzioni con la formula delle eq. di secondo grado si ottiene:
$ \displaystyle\frac{-2(b^2+c^2)\pm\sqrt{4(b^2+c^2)^2-4(b^2-c^2)^2}}{-2}=b^2+c^2\mp 2bc $
Le due soluzioni sono quindi $ (b+c)^2 $ e $ (b-c)^2 $. Dato che il coefficiente del termine di secondo grado è negativo, l'espressione è maggiore di zero per valori compresi tra le due soluzioni: quindi dev'essere $ (b-c)^2<a^2<(b+c)^2 \Rightarrow |b-c|<a<b+c $. Facendo lo stesso ragionamento per gli altri termini si ottiene la tesi.

faccio solo notare che $ E = 16S^2 $ dove S è l'area del triangolo di lati a,b,c.