Visto che per ora non mi viene in mente nulla, posto un misero caso particolare: se il triangolo è equilatero, esiste un solo punto P tale che il triangolo ceviale sia equilatero.
Prima di tutto osserviamo che se $ $A', B', C'$ $ si trovano sui punti medi dei lati, allora il triangolo è equilatero. È L'unico caso? Se due dei punti sono punti medi, si vede facilmente che anche il terzo lo è. Poniamo quindi che due tra $ $A', B', C'$ $ non siano punti medi dei rispettivi lati, WLOG $ $A', C'$ $.
Se essi sono entrambi più vicini a $ $B$ $ che a $ $A$ $ e $ $C$ $ il triangolo non può essere equilatero, dato che il massimo valore di $ $A'C'$ $ è minore del minimo valore possibile di $ $A'B'$ $:
Se $ $A', C'$ $ non sono entrambi vicino allo stesso vertice del triangolo, allora ognuno dei tre punti è vicino ad un suo vertice, così:
Ma nessun $ $P$ $ potrà mai dare questa configurazione, se tracciamo l'altezza da $ $C$ $ si vede che $ $AA'$ $ interseca $ $CC'$ $ a sinistra dell'altezza e $ $BB'$ $ a destra.
Quindi in caso di un triangolo equilatero il ceviale è equilatero solo per $ $P$ $ incentro.
L'ho fatta lunga per un caso così idiota ma non so il livello del problema e quindi ho postato il risultato parziale prima di chiedere a Gabriel
"A che livello è il problema?"
Così so se posso lasciarlo perdere... mi sa di si visto il generale successo dei problemi di Gabriel in questa sezione
