OliForum Matematico

Quanto fa: $ \displaystyle \sum_{i=1}^n{(\frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ...\cdot (n-(i-1))}{(i-1)!})^2}=? $

[edit thanks Skz: so due volte che metto quella faccetta e due volte che scordo qualcosa.. sarà la neve ]

io direi $ $\sum_{i=1}^n[...] $

sono arrivato a
$ \displaystyle (n!)^2\sum_{i=1}^n\frac{1}{((n-i)!(i-1)!)^2} $
ma non saprei andare avanti... non credo almeno xD

Prova e moltiplicare e dividere per $ i^2 $

$ \displaystyle \frac{(n!)^2\cdot n(n+1)(2n+1)}{6}\sum_{i=1}^n\frac{1}{((n-i)!i!)^2} $ ?
si può far di meglio ^^'

Sei sicuro che $ \displaystyle \sum_i{\frac{f(x_i)}{g(x_i)} $ è in generale pari a $ \displaystyle \sum_i{f(x_i)}\cdot \sum_i{\frac{1}{g(x_i)}} $?

no, per niente, ho scritto una cavolata...
$ \displaystyle (n!)^2\sum_{i=1}^n\frac{i^2}{((n-i)!i!)^2} $

altro modo di riscriverla (almeno questo posso postarlo )
$ $\sum_{i=1}^n \binom{n}{i}^2 i^2 $

Altro modo ancora:
$ \displaystyle~\sum_{i=1}^n \binom{n}{i}^2 i^2=\sum_{i=1}^n \left(\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}\right)^2= $
$ \displaystyle~=n^2\sum_{i=1}^n \left(\frac{(n-1)!}{(i-1)![(n-1)-(i-1)]!}\right)^2=n^2\sum_{i=1}^n \binom{n-1}{i-1}^2= $
$ \displaystyle~=n^2\sum_{i=0}^{n-1} \binom{n-1}{i}^2=n^2\sum_{i=0}^{n-1} \binom{n-1}{i}\binom{n-1}{n-1-i} $, che, per una nota identità, vale $ \displaystyle~n^2\binom{2n-2}{n-1} $... più di così non riesco a semplificarlo , ma almeno sono arrivato a una formula chiusa