C2 - Problemi di ammissione WC09
Inviato: 08 gen 2009, 17:40
(a) Un insieme X contiene n numeri interi distinti. Si sa che, comunque si scelga un elemento $ x\in X $, l’insieme X \ {x} può essere partizionato in due sottoinsiemi in cui la somma degli elementi è la stessa (ma non è detto che i due sottoinsiemi abbiano lo stesso numero di elementi).
Determinare per quali interi positivi n la situazione è possibile.
(b) Studiare lo stesso problema nel caso in cui X contenga numeri reali distinti.
Su suggerimento di piever in un altro post, provo a concludere il punto b...
Chi vuole provare a risolverlo passi avanti!
Nel punto a si dimostra che gli interi per cui la situazione è possibile sono tutti e soli gli interi $ n>5 $ con n dispari.
Ora dimostro che se gli elementi di X sono razionali, allora gli n per cui la condizione richiesta è valida sono gli stessi per x intero:
Se esistesse un insieme X formato da elementi razionali $ x_i =\frac{a_i}{b_i} $ che soddisfa la richiesta, allora anche l'insieme formato dagli $ \displaystile x_i \cdot \prod_{i=1}^n b_j $ mantiene la stessa proprietà. Ma questo nuovo insieme è formato da interi, quindi gli n per cui esistono insiemi X con elementi razionali con la proprietà richiesta sono gli stessi per cui esistono insiemi X con elementi interi.
Ora dimostriamo che se gli elementi di X sono reali, allora gli n per cui la condizione richiesta è valida sono gli stessi per gli insiemi con x intero.
Consideriamo gli $ x_i $ : possiamo trovare un intero $ c $ da moltiplicare per ogni elemento dell'insieme X, tale che per ogni $ c\cdot x_i $ , la sua distanza dall'intero più vicino sia minore di un $ \varepsilon $ fissato (si può dimostrare con il principio dei cassetti, da quanto mi è stato detto).
In questo caso, prendiamo $ \varepsilon = \frac{1}{2n} $ . Dunque possiamo porre ogni $ c x_i = b_i + \alpha_i $ , con $ b_i $ intero e $ \alpha < \frac {1}{2n} $.
Indichiamo la somma degli elementi di un insieme A con $ \mathcal{S}_A $ .
Ora, la proprietà richiesta indica che, tolto un qualsiasi elemento di X, l'insieme rimasto può essere partizionato in due sottinsiemi A e B tali che $ \mathcal{S}_A=\mathcal{S}_B $ . Ora, $ \mathcal{S}_A $ è uguale alla somma di un intero $ b_A= \sum_{j:x_j \in A} b_j $ e di un numero reale $ \alpha_A = \sum_{j:x_j \in A} \alpha_j < (n-2)\cdot \frac{1}{2n} <\frac12 $ .
Se $ \mathcal{S}_A=\mathcal{S}_B $ , allora $ \alpha_A=\alpha_B $ , ma allora anche $ b_A=b_B $ .
Perciò anche l'insieme X costituito dai $ b _ i $ soddisfa la condizione richiesta, ma questo insieme è costituito di interi, dunque gli n per cui è possibile costruire un insieme richiesto sono gli stessi del punto a.
L'ho scritta un po' in fretta, spero che si capisca...
può andare bene?
Determinare per quali interi positivi n la situazione è possibile.
(b) Studiare lo stesso problema nel caso in cui X contenga numeri reali distinti.
Su suggerimento di piever in un altro post, provo a concludere il punto b...
Chi vuole provare a risolverlo passi avanti!
Nel punto a si dimostra che gli interi per cui la situazione è possibile sono tutti e soli gli interi $ n>5 $ con n dispari.
Ora dimostro che se gli elementi di X sono razionali, allora gli n per cui la condizione richiesta è valida sono gli stessi per x intero:
Se esistesse un insieme X formato da elementi razionali $ x_i =\frac{a_i}{b_i} $ che soddisfa la richiesta, allora anche l'insieme formato dagli $ \displaystile x_i \cdot \prod_{i=1}^n b_j $ mantiene la stessa proprietà. Ma questo nuovo insieme è formato da interi, quindi gli n per cui esistono insiemi X con elementi razionali con la proprietà richiesta sono gli stessi per cui esistono insiemi X con elementi interi.
Ora dimostriamo che se gli elementi di X sono reali, allora gli n per cui la condizione richiesta è valida sono gli stessi per gli insiemi con x intero.
Consideriamo gli $ x_i $ : possiamo trovare un intero $ c $ da moltiplicare per ogni elemento dell'insieme X, tale che per ogni $ c\cdot x_i $ , la sua distanza dall'intero più vicino sia minore di un $ \varepsilon $ fissato (si può dimostrare con il principio dei cassetti, da quanto mi è stato detto).
In questo caso, prendiamo $ \varepsilon = \frac{1}{2n} $ . Dunque possiamo porre ogni $ c x_i = b_i + \alpha_i $ , con $ b_i $ intero e $ \alpha < \frac {1}{2n} $.
Indichiamo la somma degli elementi di un insieme A con $ \mathcal{S}_A $ .
Ora, la proprietà richiesta indica che, tolto un qualsiasi elemento di X, l'insieme rimasto può essere partizionato in due sottinsiemi A e B tali che $ \mathcal{S}_A=\mathcal{S}_B $ . Ora, $ \mathcal{S}_A $ è uguale alla somma di un intero $ b_A= \sum_{j:x_j \in A} b_j $ e di un numero reale $ \alpha_A = \sum_{j:x_j \in A} \alpha_j < (n-2)\cdot \frac{1}{2n} <\frac12 $ .
Se $ \mathcal{S}_A=\mathcal{S}_B $ , allora $ \alpha_A=\alpha_B $ , ma allora anche $ b_A=b_B $ .
Perciò anche l'insieme X costituito dai $ b _ i $ soddisfa la condizione richiesta, ma questo insieme è costituito di interi, dunque gli n per cui è possibile costruire un insieme richiesto sono gli stessi del punto a.
L'ho scritta un po' in fretta, spero che si capisca...
può andare bene?