Interi positivi come somme d'interi positivi consecutivi-own
Interi positivi come somme d'interi positivi consecutivi-own
Trovare tutti gli interi positivi che ci si possono esprimere come somma di interi positivi consecutivi
Ps. non mi dite che gia l'avete sentito..
Ps. non mi dite che gia l'avete sentito..
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: Interi positivi come somme d'interi positivi consecutivi
Probabilmente non ho capito, ma non sono tutti quelli della forma $ \frac{m(m+1)-n(n+1)}{2} $, con $ m,n $ naturali, tali che $ m>n\geq 0 $?jordan ha scritto:Trovare tutti gli interi positivi che ci si possono esprimere come somma di interi positivi consecutivi
Ps. non mi dite che gia l'avete sentito..
si, ma cosi mi stai rispondendo come il cane che si morde la coda..
Per esempio, seguendo la tua notazione, esistono $ (m,n) $ tali che $ \frac{m(m+1)-n(n+1)}{2}= 111 $?la domanda corretta sarebbe, "trovare esplicitamente tutti e i soli interi positivi esprimibili con somma di interi positivi consecutivi"..
spero adesso sia chiaro
Per esempio, seguendo la tua notazione, esistono $ (m,n) $ tali che $ \frac{m(m+1)-n(n+1)}{2}= 111 $?la domanda corretta sarebbe, "trovare esplicitamente tutti e i soli interi positivi esprimibili con somma di interi positivi consecutivi"..
spero adesso sia chiaro
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Ok, Jordan, penso di aver capito. Beh, intanto si puo' dimostrare che tutti gli interi positivi che hanno un solo fattore dispari del tipo $ p^{\alpha} $, con $ p $ numero primo dispari e $ \alpha\in \mathbb{N},\,\alpha>1 $, oppure almeno due fattori primi dispari distinti, sono rappresentabili come dici (quindi, si, il numero $ 111 $ e' rappresentabile come dici, $ 111=3\cdot 37=36+37+38 $). Ovviamente questo non esaurisce tutta la casistica...
Note added in proof: si dimostra anche che tutti i numeri della forma $ 2^k $ con $ k\in\mathbb{N} $ non possono essere scritti come somma di interi positivi consecutivi...
Note added in proof: si dimostra anche che tutti i numeri della forma $ 2^k $ con $ k\in\mathbb{N} $ non possono essere scritti come somma di interi positivi consecutivi...
@geda: come hai trovato l'espressione $ \displaystyle\frac{m(m+1)-n(n+1)}{2} $ ?
Cmq si arriva direttamente alla soluzione cercando un'altra formula scomponibile in fattori
Ma è preso da una gara di febbraio? Cosa vuol dire l'"Own" nel titolo?
Cmq si arriva direttamente alla soluzione cercando un'altra formula scomponibile in fattori
Ma è preso da una gara di febbraio? Cosa vuol dire l'"Own" nel titolo?
Viviamo intorno a un mare come rane intorno a uno stagno. (Socrate)
Own significa che è una domanda che si è fatto l'autorekn ha scritto:@geda: come hai trovato l'espressione $ \displaystyle\frac{m(m+1)-n(n+1)}{2} $ ?
Cmq si arriva direttamente alla soluzione cercando un'altra formula scomponibile in fattori
Ma è preso da una gara di febbraio? Cosa vuol dire l'"Own" nel titolo?
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Mathematical proofs are like diamonds: hard and clear.
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E' la differenza di due somme diverse di numeri consecutivi $ \biggl(\sum_{i=1}^m i\biggr) - \biggl(\sum_{j=1}^n j\biggr ) =\frac{m(m+1)-n(n+1)}{2} $, dove deve essere ovviamente $ m>n\geq 0 $kn ha scritto:@geda: come hai trovato l'espressione $ \displaystyle\frac{m(m+1)-n(n+1)}{2} $ ?
kn ha scritto:Cmq si arriva direttamente alla soluzione cercando un'altra formula scomponibile in fattori
- dalferro11
- Messaggi: 105
- Iscritto il: 02 ott 2006, 14:17
Mi sembra manchi qualcosa......
L'espressione scritta da "geda" non è altro che una differenza di due numeri detti triangolari.
Ma ogni numero può essere scritto come differenza di due triangolari, come conseguenza si ha che ogni numero può essere scritto come somma di numeri consecutivi.
Credo che jordan volesse dire:
Trovare tutti e soli i numeri che si possono scrivere come somma di almeno due numeri interi consecutivi.
Così va meglio?
L'espressione scritta da "geda" non è altro che una differenza di due numeri detti triangolari.
Ma ogni numero può essere scritto come differenza di due triangolari, come conseguenza si ha che ogni numero può essere scritto come somma di numeri consecutivi.
Credo che jordan volesse dire:
Trovare tutti e soli i numeri che si possono scrivere come somma di almeno due numeri interi consecutivi.
Così va meglio?
la mancanza di cultura matematica si manifesta drasticamente nell'eccessiva precisione di calcolo.
K. F. Gauss
K. F. Gauss
se questo era da febbraio allora mi conviene mettermi sotto perchè ci ho dovuto pensare moltissimo.....
tutti i numeri dispari maggiori di 1 sono della forma $ $2n+1 $ con $ $n\in\mathbb{N^+} $: dunque ogni dispari può essere espresso nella forma $ $n+(n+1) $, ovvero ogni dispari è la somma di due interi positivi consecutivi.
Passiamo ai numeri pari
in generale, ogni numero $ $n $, se ha nella sua fattorizzazione un dispari $ $d $, può essere espresso come la somma di $ $d $ interi consecutivi, a patto che $ $n\geq\frac{d(d+1)}{2} $ (perchè quella è esattamente la somma dei primi $ $d $ interi, quindi il caso più piccolo di somma di $ $d $ interi consecutivi), ovvero $ $2n \geq d(d+1) $; se $ $d $ compare nella fattorizzazione di $ $n $ elevato ad un esponente maggiore di 1, allora la condizione precedente è sempre rispettata perchè $ $2d^2>d(d+1) $ sempre e $ $2d^2 \leq n $. Se il numero non contiene dispari elevati ad una potenza maggiore di 1, può essere espresso nella forma $ $2^kd $ con $ $d $ dispari; ora, osservo che la somma di $ $2h $ interi consecutivi è congrua a $ $h $ modulo $ $2h $, ed è maggiore o uguale a $ $\frac{h(h+1)}{2} $: in poche parole ogni intero congruo ad $ $h $ modulo $ $2h $ e maggiore o uguale a quella roba può essere espresso come somma di $ $2h $ interi consecutivi: dunque dovremmo avere che $ $2^k d \geq \frac{2^{k+1}(2^{k+1}+1)}{2}==>2^{k+1}d \geq 2^{k+1}(2^{k+1}+1) ==>d \geq 2^{k+1}+1 $. Se questa condizione è rispettata siamo a posto. Altrimenti, è vero il contrario, ovvero $ $2^{k-1}>d-1 $: ma allora $ $2^kd $può essere espresso come somma di $ $d $ interi consecutivi perchè si dovrebbe avere $ $2^kd \geq \frac{d(d+1)}{2} ==> 2^{k+1} \geq d+1 $, che è verificata dalla condizione trovata in precedenza.
è rimasto solo il caso per cui $ $n=2^x $. Ora, naturalmente $ $n $ non può essere una somma di un numero dispari di interi consecutivi, perchè dovrebbe essere multiplo di un tale numero. Analogamente, non può essere neanche una somma di un numero pari, ma multiplo di un primo diverso da 2, di interi consecutivi, perchè dovrebbe essere multiplo di tale primo. Ora, abbiamo già visto come la somma di $ $2h $ interi consecutivi è congrua ad $ $h (mod 2h) $: ma allora $ $2^x $ dovrebbe necessariamente essere espresso come la somma di $ $2^{x+1} $ interi consecutivi, e questo è assurdo
argh, che fatica.......potete dirmi se va bene per favore?
EDIT: mi sono accorto che non ho specificato che in tutti i vari passaggi $ $d>1 $
tutti i numeri dispari maggiori di 1 sono della forma $ $2n+1 $ con $ $n\in\mathbb{N^+} $: dunque ogni dispari può essere espresso nella forma $ $n+(n+1) $, ovvero ogni dispari è la somma di due interi positivi consecutivi.
Passiamo ai numeri pari
in generale, ogni numero $ $n $, se ha nella sua fattorizzazione un dispari $ $d $, può essere espresso come la somma di $ $d $ interi consecutivi, a patto che $ $n\geq\frac{d(d+1)}{2} $ (perchè quella è esattamente la somma dei primi $ $d $ interi, quindi il caso più piccolo di somma di $ $d $ interi consecutivi), ovvero $ $2n \geq d(d+1) $; se $ $d $ compare nella fattorizzazione di $ $n $ elevato ad un esponente maggiore di 1, allora la condizione precedente è sempre rispettata perchè $ $2d^2>d(d+1) $ sempre e $ $2d^2 \leq n $. Se il numero non contiene dispari elevati ad una potenza maggiore di 1, può essere espresso nella forma $ $2^kd $ con $ $d $ dispari; ora, osservo che la somma di $ $2h $ interi consecutivi è congrua a $ $h $ modulo $ $2h $, ed è maggiore o uguale a $ $\frac{h(h+1)}{2} $: in poche parole ogni intero congruo ad $ $h $ modulo $ $2h $ e maggiore o uguale a quella roba può essere espresso come somma di $ $2h $ interi consecutivi: dunque dovremmo avere che $ $2^k d \geq \frac{2^{k+1}(2^{k+1}+1)}{2}==>2^{k+1}d \geq 2^{k+1}(2^{k+1}+1) ==>d \geq 2^{k+1}+1 $. Se questa condizione è rispettata siamo a posto. Altrimenti, è vero il contrario, ovvero $ $2^{k-1}>d-1 $: ma allora $ $2^kd $può essere espresso come somma di $ $d $ interi consecutivi perchè si dovrebbe avere $ $2^kd \geq \frac{d(d+1)}{2} ==> 2^{k+1} \geq d+1 $, che è verificata dalla condizione trovata in precedenza.
è rimasto solo il caso per cui $ $n=2^x $. Ora, naturalmente $ $n $ non può essere una somma di un numero dispari di interi consecutivi, perchè dovrebbe essere multiplo di un tale numero. Analogamente, non può essere neanche una somma di un numero pari, ma multiplo di un primo diverso da 2, di interi consecutivi, perchè dovrebbe essere multiplo di tale primo. Ora, abbiamo già visto come la somma di $ $2h $ interi consecutivi è congrua ad $ $h (mod 2h) $: ma allora $ $2^x $ dovrebbe necessariamente essere espresso come la somma di $ $2^{x+1} $ interi consecutivi, e questo è assurdo
argh, che fatica.......potete dirmi se va bene per favore?
EDIT: mi sono accorto che non ho specificato che in tutti i vari passaggi $ $d>1 $
marco