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Trovare tutti gli interi positivi che ci si possono esprimere come somma di interi positivi consecutivi


Ps. non mi dite che gia l'avete sentito..

jordan ha scritto:Trovare tutti gli interi positivi che ci si possono esprimere come somma di interi positivi consecutivi


Ps. non mi dite che gia l'avete sentito..

Probabilmente non ho capito, ma non sono tutti quelli della forma $ \frac{m(m+1)-n(n+1)}{2} $, con $ m,n $ naturali, tali che $ m>n\geq 0 $?

si, ma cosi mi stai rispondendo come il cane che si morde la coda..

Per esempio, seguendo la tua notazione, esistono $ (m,n) $ tali che $ \frac{m(m+1)-n(n+1)}{2}= 111 $?la domanda corretta sarebbe, "trovare esplicitamente tutti e i soli interi positivi esprimibili con somma di interi positivi consecutivi"..
spero adesso sia chiaro

Ok, Jordan, penso di aver capito. Beh, intanto si puo' dimostrare che tutti gli interi positivi che hanno un solo fattore dispari del tipo $ p^{\alpha} $, con $ p $ numero primo dispari e $ \alpha\in \mathbb{N},\,\alpha>1 $, oppure almeno due fattori primi dispari distinti, sono rappresentabili come dici (quindi, si, il numero $ 111 $ e' rappresentabile come dici, $ 111=3\cdot 37=36+37+38 $). Ovviamente questo non esaurisce tutta la casistica...

Note added in proof: si dimostra anche che tutti i numeri della forma $ 2^k $ con $ k\in\mathbb{N} $ non possono essere scritti come somma di interi positivi consecutivi...

@geda: come hai trovato l'espressione $ \displaystyle\frac{m(m+1)-n(n+1)}{2} $ ?
Cmq si arriva direttamente alla soluzione cercando un'altra formula scomponibile in fattori

Ma è preso da una gara di febbraio? Cosa vuol dire l'"Own" nel titolo?

kn ha scritto:@geda: come hai trovato l'espressione $ \displaystyle\frac{m(m+1)-n(n+1)}{2} $ ?
Cmq si arriva direttamente alla soluzione cercando un'altra formula scomponibile in fattori

Ma è preso da una gara di febbraio? Cosa vuol dire l'"Own" nel titolo?

Own significa che è una domanda che si è fatto l'autore

la sol si trova facilmente se si progredisce per gradi e viene meglio se si predilige la simmetria

kn ha scritto:@geda: come hai trovato l'espressione $ \displaystyle\frac{m(m+1)-n(n+1)}{2} $ ?

E' la differenza di due somme diverse di numeri consecutivi $ \biggl(\sum_{i=1}^m i\biggr) - \biggl(\sum_{j=1}^n j\biggr ) =\frac{m(m+1)-n(n+1)}{2} $, dove deve essere ovviamente $ m>n\geq 0 $

kn ha scritto:Cmq si arriva direttamente alla soluzione cercando un'altra formula scomponibile in fattori

kn ha scritto:Ma è preso da una gara di febbraio?

Ci potrebbe stare..

Mi sembra manchi qualcosa......
L'espressione scritta da "geda" non è altro che una differenza di due numeri detti triangolari.
Ma ogni numero può essere scritto come differenza di due triangolari, come conseguenza si ha che ogni numero può essere scritto come somma di numeri consecutivi.
Credo che jordan volesse dire:
Trovare tutti e soli i numeri che si possono scrivere come somma di almeno due numeri interi consecutivi.
Così va meglio?

Penso che fosse sottinteso Altrimenti, come hai notato tu, il problema era piuttosto banale!

Effettivamente mai sentito parlare della somma di 1 numero

Mmmh..doverbbe funzionare per ogni n intero positivo diverso diverso da $ 2^x $se non sbaglio...è giusto?..se lo è metto la mia soluzione, altrimenti provo a guardare dove ho sbagliato..

Posta lo stesso.
Cmq a occhio dovrebbe essere giusto

se questo era da febbraio allora mi conviene mettermi sotto perchè ci ho dovuto pensare moltissimo.....


tutti i numeri dispari maggiori di 1 sono della forma $ $2n+1 $ con $ $n\in\mathbb{N^+} $: dunque ogni dispari può essere espresso nella forma $ $n+(n+1) $, ovvero ogni dispari è la somma di due interi positivi consecutivi.

Passiamo ai numeri pari

in generale, ogni numero $ $n $, se ha nella sua fattorizzazione un dispari $ $d $, può essere espresso come la somma di $ $d $ interi consecutivi, a patto che $ $n\geq\frac{d(d+1)}{2} $ (perchè quella è esattamente la somma dei primi $ $d $ interi, quindi il caso più piccolo di somma di $ $d $ interi consecutivi), ovvero $ $2n \geq d(d+1) $; se $ $d $ compare nella fattorizzazione di $ $n $ elevato ad un esponente maggiore di 1, allora la condizione precedente è sempre rispettata perchè $ $2d^2>d(d+1) $ sempre e $ $2d^2 \leq n $. Se il numero non contiene dispari elevati ad una potenza maggiore di 1, può essere espresso nella forma $ $2^kd $ con $ $d $ dispari; ora, osservo che la somma di $ $2h $ interi consecutivi è congrua a $ $h $ modulo $ $2h $, ed è maggiore o uguale a $ $\frac{h(h+1)}{2} $: in poche parole ogni intero congruo ad $ $h $ modulo $ $2h $ e maggiore o uguale a quella roba può essere espresso come somma di $ $2h $ interi consecutivi: dunque dovremmo avere che $ $2^k d \geq \frac{2^{k+1}(2^{k+1}+1)}{2}==>2^{k+1}d \geq 2^{k+1}(2^{k+1}+1) ==>d \geq 2^{k+1}+1 $. Se questa condizione è rispettata siamo a posto. Altrimenti, è vero il contrario, ovvero $ $2^{k-1}>d-1 $: ma allora $ $2^kd $può essere espresso come somma di $ $d $ interi consecutivi perchè si dovrebbe avere $ $2^kd \geq \frac{d(d+1)}{2} ==> 2^{k+1} \geq d+1 $, che è verificata dalla condizione trovata in precedenza.

è rimasto solo il caso per cui $ $n=2^x $. Ora, naturalmente $ $n $ non può essere una somma di un numero dispari di interi consecutivi, perchè dovrebbe essere multiplo di un tale numero. Analogamente, non può essere neanche una somma di un numero pari, ma multiplo di un primo diverso da 2, di interi consecutivi, perchè dovrebbe essere multiplo di tale primo. Ora, abbiamo già visto come la somma di $ $2h $ interi consecutivi è congrua ad $ $h (mod 2h) $: ma allora $ $2^x $ dovrebbe necessariamente essere espresso come la somma di $ $2^{x+1} $ interi consecutivi, e questo è assurdo



argh, che fatica.......potete dirmi se va bene per favore?


EDIT: mi sono accorto che non ho specificato che in tutti i vari passaggi $ $d>1 $