bene, rieccomi che provo ancora
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Se la tesi è vera per $ n $ è vera anche per il suo successivo $ n+1 $. Ora, scrivendo la tesi per n e n+1 si ah che
$ \sum_{r=1}^{n}\frac{a_r}{1+\sum_{j=1}^{r}a_j^2} < \sqrt{n} $
$ \sum_{r=1}^{n+1}\frac{a_r}{1+\sum_{j=1}^{r}a_j^2} < \sqrt{n+1} $
Facendo la differenza tra le due disuguaglianze si ottiene che $ \frac{a_{n+1}}{1+\sum_{j=1}^{n+1}a_j^2} < \sqrt{n+1} -\sqrt{n} $.
Siccome considero il caso in cui tutti gli $ a_i $ siano positivi per ciò che ho detto nel post precedente ( che nessuno ha confermato, ma prendo per vero, non mi pare sbagliato..) e ora ordino gli $ a_i $ in modo tale che se $ j>i $ allora $ a_j >i $. Fatto l'inverso e quindi cambiato il verso della disuguaglianza precedente ( posso farlo senza senzi di colpa, sono tutti positivi tanto...) si ottiene che
$ \frac{1}{a_{n+1}} +a_{n+1} +\sum_{j=1}^{n}\frac{a_j^2}{a_{n+1}} > \sqrt{n+1} +\sqrt{n} $
Verifichiamo ora i vari casi:
pongo $ u = a_{n+1} $ per comodità di scrittura e guardo cosa succede quando $ u = \sqrt{n+1} -\sqrt{n} $. Sostituendo nella disuguaglianza precedente si ha che $ \sqrt{n+1} +\sqrt{n} +\sqrt{n+1} -\sqrt{n} +\sum_{j=1}^{n}\frac{a_j^2}{a_{n+1}} > \sqrt{n+1} +\sqrt{n} $ Vero !
Quando $ u<\sqrt{n+1} -\sqrt{n} $ si ha che $ u =\sqrt{n+1} -\sqrt{n} -|k_1| $ e quindi $ \frac{1}{u} = \sqrt{n+1} +\sqrt{n} +|k_2| $ e si ottiene, sostituendo come prima, che
$ \sqrt{n+1} +\sqrt{n}+|k_2| +\sqrt{n+1} -\sqrt{n} -|k_1|+\sum_{j=1}^{n}\frac{a_j^2}{a_{n+1}} > \sqrt{n+1} +\sqrt{n} $ che è vero ( ! ) in quanto.... beh, $ |k_2| $ cresce molto più in fretta di $ |k_1| $ ! ehm.. questo non so spiegarlo bene, ma ne sono ( quasi ) certo, magari serve qualcosa che io non conosco ( so solo la definizione di derivata...)
Alllo stesso modo tratto l'ultimo caso
Quando $ u>\sqrt{n+1} -\sqrt{n} $ si ha che $ u =\sqrt{n+1} -\sqrt{n} +|k_1| $ e quindi $ \frac{1}{u} = \sqrt{n+1} +\sqrt{n} -|k_2| $ e si ottiene, sostituendo come prima, che
$ \sqrt{n+1} +\sqrt{n}-|k_2| +\sqrt{n+1} -\sqrt{n} +|k_1|+\sum_{j=1}^{n}\frac{a_j^2}{a_{n+1}} > \sqrt{n+1} +\sqrt{n} $ che è vero ( ! ) in quanto.... beh, $ |k_1| $ cresce molto più in fretta di $ |k_2| $ ed essendo $ k_2 $ molto più piccolo di $ k_1 $ ! ehm.. per lo stesso motivo di prima al rovescio ??
Comunque non mi sembra sbagliato come ragionamento...
Fatti tutti i casi, sembra che valga per ogni $ a_{n+1} $ che si scelga...
Scusate se continuo ad infierire, ma sono passato a febbraio e vorrei andare a cesenatico...