Diofantea (titolo insolito...)

[Thebear]

Quali sono le coppie di interi non negativi $ (p,n) $ con $ p $ primo che verificano l'equazione $ p^2+n-3=6^n+n^6 $?

P.S. qualcuno mi sa dire da dove è preso e di che livello è?

[jordan]

Dove è preso non lo so , ma secondo me starebbe bene anche a un febbraio..
ps il parere è comunque soggettivo..

[Inkio]

Mmmh...Beh, il primo membro, $ p^2+n-3\equiv n+1(mod3) $ perchè p di certo non è un multiplo di 3(a meno che p non sia proprio3, situazione che analizziamo più in fondo) essendo primo, ed, essendo i residui quadratici modulo 3 1 e 0, $ p^2\equiv 1 (mod 3) $.Il secondo membro tuttavia è congruo a 1 mod 3 o a 0, infatti se n è un multiplo di 3 il residuo quadratico è 0, altrimenti è 1.Quindi abbiamo $ p^2+n-3\equiv n+1(mod3) $ ed
$ 6^n+n^6\equiv 1 (mod3) $ o se n è multiplo di 3
$ 6^n+n^6\equiv 0 (mod 3) $.
Poniamo il caso n multiplo di 3:il primo membro è congruo ad 1 mod 3 ed il secondo a 0, quindi non va bene.Poniamo il caso n congruo a 1 o 2 mod 3.Il primo o è congruo a 2 o è multiplo di 3 mentre il secondo è congruo a 1 modulo 3 qundi non ci va bene.

Ora analizziamo il caso p=3.
$ 9-3+n=6^n+n^6 $ Ma
$ 6^n+n^6>n+6 $ per ogni n>1.(Lo si vede per induzione..o meglio, se fosse il 12 febbraio io lo dimostrerei per induzione, altrimenti a occhio!! ...forse anche graficamente lo si potrebbe risolvere per chi sa fare questi bei grafici!! ).Quindi o n=1 o n=0.
n=1 e p=3 funziona ed anche n=0 e p=3.

Anche secondo me è da febbraio...forse pooooco pooooco di più...ma ci potrebbe stare come dimostrazione...

PS: ho sbagliato qualcosa?

[jordan]

Si giusta Inkio ..comunque scritta più compatta potrebbe essere:
"$ p=2,n=0 $e$ p=3,n=1 $,altrimenti$ 3 \nmid p^2=3[2^n3^{n-1}+1+\frac{n(n-1)(n+1)}{3}(n^3+1)]+n^2(n(n-1))\equiv 0\text{o } -1 \pmod 3 $, i'm-possible"

[g(n)]

Altrimenti:
casi 2 e 3 a mano; poi, per $ p\geq 5 $ primo, si ha che $ p^2\equiv 1 \pmod 6 $
Quindi deve risultare
$ n-2\equiv n^6\pmod 6 $

impossibile (verificate )