2^p+3^p=a^n (irlandese)
2^p+3^p=a^n (irlandese)
Sia $ p $ un numero primo e $ a $ e $ n $ interi positivi. Provare che se $ 2^p+3^p=a^n $, allora $ n=1 $.
per p=2 si ha $ 2^2+3^2=13 $ da cui n=1.
per p>2 allora $ 2^p+3^p $$ \equiv \ (2+3)\displaystile \sum_{i=0}^{p-1}{2^i(-3)^{p-i-1}} $$ \equiv \ 5\displaystile \sum_{i=0}^{p-1}{2^i(-3)^{p-i-1}} \equiv \ 0 (mod5) $ pertanto, supponendo n>1, deve essere $ \displaystile \sum_{i=0}^{p-1}{2^i(-3)^{p-i-1}} \equiv \ 0 (mod5) $, ma $ \displaystile \sum_{i=0}^{p-1}{2^i(-3)^{p-i-1}} \equiv \sum_{i=0}^{p-1}{2^i2^{p-i-1}}\equiv \sum_{i=0}^{p-1}{2^{p-1}}\equiv \ p(2^{p-1}) (mod 5) $ quindi p=5, ma per p=5 si ha n=1.
Spero di essere stato chiaro e di non aver commesso grossi errori.
per p>2 allora $ 2^p+3^p $$ \equiv \ (2+3)\displaystile \sum_{i=0}^{p-1}{2^i(-3)^{p-i-1}} $$ \equiv \ 5\displaystile \sum_{i=0}^{p-1}{2^i(-3)^{p-i-1}} \equiv \ 0 (mod5) $ pertanto, supponendo n>1, deve essere $ \displaystile \sum_{i=0}^{p-1}{2^i(-3)^{p-i-1}} \equiv \ 0 (mod5) $, ma $ \displaystile \sum_{i=0}^{p-1}{2^i(-3)^{p-i-1}} \equiv \sum_{i=0}^{p-1}{2^i2^{p-i-1}}\equiv \sum_{i=0}^{p-1}{2^{p-1}}\equiv \ p(2^{p-1}) (mod 5) $ quindi p=5, ma per p=5 si ha n=1.
Spero di essere stato chiaro e di non aver commesso grossi errori.
