OliForum Matematico

Dimostrare che, per ogni $ p \in [2,+\infty) $, per ogni $ a,b \in \mathbb R $, vale la seguente:

$ \displaystyle {\left| \frac{a+b}{2} \right|}^p + {\left| \frac{a-b}{2} \right|}^p \leq \frac{{|a|}^p + {|b|}^p}{2} $

È la versione "reale" di una disuguaglianza valida in generale negli spazi $ L^p $, giusto per la cronaca. Non son completamente sicuro dell'esistenza di un metodo completamente olimpico per risolverla, ma a vederla mi stupirei sinceramente del contrario.

Tirare in ballo Jensen/Young/Holder/Minkowski mi sembra eccessivo,
direi che basta riformulare con accortezza e applicare una versione
for dummies di Bernoulli:

Formulazione equivalente 1) Posto c>d>0, provare che per p>2
$ 2(c^p + d^p) \geq \left(\frac{c+d}{2}\right)^p + \left(\frac{c-d}{2}\right)^p $

Formulazione equivalente 2) Sfrutto l'omogeneità, divido dunque per d^p
e pongo (c/d)=v. La tesi diviene: provare che per p>2 e v>1 si ha
$ \frac{(v+1)^p - 2 v^p + (v-1)^p}{2}\geq 1 $

Il polinomio in v che compare a numeratore ha grado (p-2)
e tutti i coefficienti positivi; è dunque minorato dalla sua testa:

$ \frac{(v+1)^p - 2 v^p + (v-1)^p}{2}\geq \frac{p(p-1)}{2}\, v^{p-2} \geq 1 $

Con Young come viene la dimostrazione?
Grazie