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Due guide parallele distanti l=10 cm sono poste su un piano inclinato di un angolo pari a 30° e sono chiuse ad un estremo da un'induttanza. Lungo le guide può scorrere senza attrito una sbarretta conduttrice di massa m=20 g che chiude il circuito ed è sottoposta alla propria forza peso. Il sistema è immerso in un campo magnetico uniforme e costante diretto verso l'alto e di intensità 2T. Sapendo che la pulsazione associata alla barretta è $ w=5\sqrt{2}s^-1 $ calcolare:
1)il valore dell'induttanza
2)gli estremi di oscillazione se inizialmente la barretta si trova in quiete all'altezza y=0
3)il valore massimo della corrente

Dati:
distanza sbarrette: $ l $
inclinazione del piano: $ \theta $
massa: $ m $
campo magnetico: $ B $
induttanza: $ L $
accelerazione gravitazionale: $ g $
posizione della sbarretta sulle due guide: $ x $, con $ x=0 $ nella posizione di partenza e le ascisse positive allontanandosi dall'induttore
altezza della sbarretta rispetto al punto di partenza: $ y $
corrente (verso antiorario visto dall'alto): $ i $
pulsazione dell'oscillazione: $ \omega $

Equazioni differenziali e condizioni iniziali:
I legge di Kirchhoff:
$ \displaystyle lB\cos\theta\frac{dx}{dt}+L\frac{di}{dt}=0 $
II legge di newton applicata alla sbarretta:
$ \displaystyle m\frac{d^2x}{dt^2}=-g\sin\theta+\frac{lB\cos\theta}mi $
condizioni iniziali:
$ \displaystyle x|_{t=0}=0,\ \ i|_{t=0}=0,\ \ \left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=0}=\left.\frac{di}{dt}\right|_{t=0}=0 $

Soluzione:
$ \displaystyle i=\frac{mg\tan\theta}{lB}\left[1-\cos\left(\frac{lB\cos\theta}{\sqrt{mL}}t\right)\right] $
$ \displaystyle x=-\frac{mgL\tan\theta}{l^2B^2\cos\theta}\left[1-\cos\left(\frac{lB\cos\theta}{\sqrt{mL}}t\right)\right] $

Risposte al problema:
Dalle soluzioni risulta che $ \displaystyle\omega=\frac{lB\cos\theta}{\sqrt{mL}} $, quindi $ \displaystyle L=\frac{l^2B^2\cos^2\theta}{m\omega^2} $.
Gli estremi dell'oscillazione sono $ \displaystyle x_{inf}=-\frac{2mgL\tan\theta}{l^2B^2\cos\theta},\ \ x_{sup}=0 $. Dal momento che $ y=x\sin\theta $, ad essi corrispondono $ \displaystyle y_{inf}=-\frac{2mgL\tan^2\theta}{l^2B^2},\ \ y_{sup}=0 $.
Il modulo massimo della corrente è $ \displaystyle i_m=\frac{2mg\tan\theta}{lB} $.
I valori estremi di $ x $ e $ i $ si ottengono agli istanti $ \displaystyle t=\frac{k\sqrt{mL}\pi}{lB\cos\theta} $ con $ k\in\mathbb{Z} $.