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Siano wlog $ m_1\le m_2 \le m_3 $le tre mediane di un triangolo, allora $ m_3\le m_1+m_2 $.

Basta dimostrare che le mediane sono lunghezze dei lati di un triangolo, il caso di uguaglianza si ha quando $ m_1=m_2=m_3/2 $, o sbaglio?

Sì, basta quello...
Si può fare anche con un disegno, chi lo trova?

jordan ha scritto:Siano wlog $ m_1\le m_2 \le m_3 $le tre mediane di un triangolo, allora $ m_3\le m_1+m_2 $.

Cosa significa wlog? Lo vedo sempre scritto e non l'ho mai saputo

without loss of generality

Ah ok capito... Pensavo fosse qualche logaritmo strano w mai visto prima...

Ricordando il lemma triangolare (viewtopic.php?t=12275 )
e la formula della mediana di un triangolo:
(1) $ \displaystyle m_a^2=\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}c^2-\frac{1}{4}a^2 $
si può fare algebricamente come segue.
Dalla (1) ho:
$ \displaystyle m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2) $
Da cui:
$ \displaystyle (m_a^2+m_b^2+m_c^2)^2=\frac{9}{16}(a^2+b^2+c^2)^2 $
Sempre dalla (1) con qualche calcolo ottengo:
$ \displaystyle m_a^4+m_b^4+m_c^4=\frac{9}{16}(a^4+b^4+c^4) $
Pertanto:
$ \displaystyle (m_a^2+m_b^2+m_c^2)^2-2(m_a^4+m_b^4+m_c^4)=\frac{9}{16}[(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)]>0 $ per il lemma.
Allora per il medesimo lemma $ \displaystyle m_a,m_b,m_c $ sono i lati di un triangolo.

Il triangolo rosso ha i lati 2 volte le mediane

In effetti la soluzione di Gabriel era quella che avevo in serbo come soluzione
alternativa a quella algebrica.La mia pigrizia mi ha bruciato:sarà per un'altra volta!!

Intendevo proprio quello.
L'avevano fatto vedere al senior prendendo il triangolo mediale di quello rosso, in ogni caso è ovvio che la soluzione sta tutta lì.

Siano $ \vec A, \vec B, \vec C $ i vertici del triangolo, allora le mediane sono $ \vec m_a=\frac12(\vec B+\vec C)-\vec A,\ \vec m_b=\frac12(\vec C+\vec A)-\vec B,\ \vec m_c=\frac12(\vec A+\vec B)-\vec C $.
Dal momento che si ha $ \vec m_a+\vec m_b+\vec m_c=0 $, le tre mediane sono i lati di un triangolo.