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Definiamo "bitangente" una retta tangente a una curva in due punti.

Trovare l'equazione della bitangente alla curva $ y=\sum_{i=1}^5{ix^{5-i}} $

$ \displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}=12x^2+12x+6>0\ \ \ \forall x\in\mathbb{R} $, quindi la funzione è strettamente convessa e non esistono bitangenti.

Sci ma eddai coi cannoni non vale

Come volete..

Bonus 1: Calcolare la bitangente (se esiste) di $ \displaystyle y=\sum_{i=1}^5{i(-x)^{5-i}} $.

Bonus 2: Trovare condizioni necessarie e sufficienti sui coefficienti reali di $ y=\sum_{i=0}^4{a_ix^i} $ affinchè esista almeno una bitangente.

Sono testardo come pochi, quindi continuo a derivare!!!

1)
Anche in questo caso $ \displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}=12x^2-12x+6>0\ \ \ \forall x\in\mathbb{R} $, quindi la funzione è strettamente convessa e non esistono bitangenti.

2)
Dovrebbe essere $ 3a_3-8a_2a_4>0 $...

Ora qualcuno più fantasioso di me trovi la strada alternativa.

Bonus 3: Trovare la bitangente di $ y=(x+1)(x-1)(x^2-x+1) $

Mettiamo a sistema con l'equazione generica di una retta
$ \left\{\begin{array}{l}y=x^4-x^3+x-1\\y=mx+q\end{array}\right. $
e troviamo $ (m,q)\in\mathbb{R}^2 $ in modo che il sistema abbia esattamente due soluzioni nei reali, cioè dobbiamo fare in modo che l'equazione risultante $ x^4-x^3+(1-m)x-(q+1)=0 $ sia nella forma $ (x-\lambda_1)^2(x-\lambda_2)^2=0 $
Facendo i conti o usando le relazioni radici/coefficienti si ricava che:
- $ \lambda_1+\lambda_2=\frac{1}{2} $
- $ (\lambda_1+\lambda_2)^2+2\lambda_1\lambda_2=0\Rightarrow \lambda_1\lambda_2=-\frac{1}{8} $
- $ 2\lambda_1\lambda_2(\lambda_1+\lambda_2)=m-1\Rightarrow m=\frac{7}{8} $
- $ (\lambda_1\lambda_2)^2=-(q+1)\Rightarrow q=-\frac{65}{64} $

Dunque la bitangente ha equazione $ y=\frac{7}{8}x-\frac{65}{64} $. Sostituendo i valori di $ m $ e $ q $ nell'equazione risultante dal sistema, si può verificare che esistono effettivamente due sole soluzioni: $ x=\frac{1}{4}\pm\frac{\sqrt{3}}{4} $