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Trovare tutti gli $ n $ tali che il prodotto di alcuni numeri tra $ n,n+1, n+2, ..., n+2009 $ è uguale al prodotto dei rimanenti


(Ecco cosa faccio alle 4.40 di domenica mattina )

Il prodotto deve essere un quadrato perfetto. Per il teorema di Sylvester ( ) se n > 2010 ci sarebbe un primo maggiore di 2010 nella sequenza e dividerebbe solo un numero (non ci interessa con quale potenza). Quindi dividendo il prodotto dei 2010 termini in due parti, una sarebbe multipla del primo estraneo, l'altra no. Quindi supponiamo n < 2010.
Un prodotto di 2010 numeri consecutivi è divisibile per $ ~11^{199} $ e c'è almeno un termine della sequenza divisibile per $ ~11^3=1331<2010 $. Perché il prodotto fosse un quadrato perfetto dovrebbe essere divisibile per una potenza pari di 11 e dovrebbe esserci un termine divisibile per $ ~11^4=14641 $, quindi dovrebbe essere $ ~n \ge 11^4-2009=12632 > 2010 $, assurdo.
Che soluzione schifosa! Com'è la tua, Jordan?
Non uccidetemi per aver usato un teoremone poco olimpico.

kn,omg...
1-intendi il prodotto dei prodotti vero?
2-cosa dice il teorema di Sylvester?
3-il caso n=2010? (a prima vista pare saltato..ad ogni modo esiste un altro primo per bertrand)
4-il prodotto di tutti è divisibile per almeno $ 11^{199} $ (fidandomi comunque dei conti).. (prova n=121.. )
5-perchè deve essere divisibile per una potenza pari di 11?

1) Sì, il prodotto di tutti i numeri della sequenza
2) click!
3) Scusa, intendevo dire "Supponiamo $ ~n \le 2010 $ "
4) Volevo dire quello... poi ho dimostrato (spero) che è l'esponente massimo (cosa succede con n = 121?)
5) Intendevo dire "la massima potenza di 11 che divide il prodotto di tutti deve avere esponente pari", altrimenti il prodotto non sarebbe un quadrato perfetto.

$ 11^{200}||2013! $..

Hai ragione, ho sbagliato tutto (tranne la prima parte).
Per riabilitarmi osservo che l'unica possibilità è n = 1, perché se fosse $ ~2\le n\le 2010<2011 $ ci sarebbe uno e un solo termine divisibile per 2011, che è primo. Quindi come prima uno dei due prodotti (nei quali spezziamo il prodotto di tutti) sarebbe divisibile per 2011 e l'altro no. Ora finalmente possiamo dire che $ 11^{199}||2010! $, dunque 2010! non è un quadrato perfetto e quindi nemmeno n = 1 va bene. Perciò non esistono n che soddisfano la proprietà richiesta.

be, se lo assumi vero quel teorema direi che va bene..
altrimenti?

...oppure c'è quella che tu mi hai "velocizzato" nel trovare, cioé 2011 primo divide n-1, quindi il prodotto di tutti i numeri è congruo a -1 modulo 2011 per wilson, ma -1 non è residuo quadratico modulo 2011 perché 2011 è congruo a 3 modulo 4.