OliForum Matematico

Siano $ a,b,c $ tre numeri reali positivi tali che $ a+b+c=abc $.
Dimostrare che $ \displaystyle\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge3\sqrt3\frac{abc}{abc+3} $.

Io ho fatto cosi`: si osserva che la funzione $ $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$ $ e` convessa, si applica Jensen e arriviamo a
$ $\frac{\left(\sum \frac{1}{3}a\right)^2}{\sum \frac{1}{3}a + 1} \geqslant \frac{\sqrt{3} abc}{abc + 3};$ $ poniamo $ $S := a+b+c = abc$ $ e semplifichiamo:
$ $S \geqslant 3\sqrt{3}$ $. Per dimostrare questa disuguaglianza, applichiamo AM-GM alla terna $ $(a, b, c)$ $:
$ $\frac{a+b+c}{3} \geqslant \sqrt[3]{abc}$ $, ma anche $ $a+b+c = abc$ $, quindi, con la notazione di prima, $ $\frac{S}{3} \geqslant \sqrt[3]{S}$ $, cioe` $ $S^3 \geqslant 27S$ $, dunque $ $S^2 \geqslant 27$ $, e poiche' $ $S>0$ $, $ $S \geqslant 3\sqrt{3}$ $.

Spero che sia giusta!

Poniamo $ \displaystyle~p=a+b+c=abc $... Per AM-GM abbiamo $ \displaystyle~a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc} $,
da cui $ \displaystyle~p^3\ge27p\Rightarrow p\left(p-3\sqrt 3\right)\left(p+3\sqrt 3\right)\ge0 $ che dà infine $ \displaystyle~p\ge 3\sqrt3 $.
Ora, la funzione $ \displaystyle~f\left(x\right)=\frac{x^2}{x+1} $ è convessa per $ \displaystyle~x\in \mathbb{R}^+ $, per cui:
$ \displaystyle~\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2}{a+1}+\frac{1}{3}\cdot\frac{b^2}{b+1}+\frac{1}{3}\cdot\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2}{\frac{a+b+c}{3}+1} $
e quindi:
$ \displaystyle~\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{3\cdot\frac{p^2}{9}}{\frac{p+3}{3}} $

$ \displaystyle~\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{p^2}{p+3}\ge3\sqrt 3\frac{abc}{abc+3} $, che è la tesi.

E va bene, questa volta hai vinto tu

Eheh Ora siamo pari!

stefanos ha scritto:...dunque $ $S^2 \geqslant 27$ $, e poiche' $ $S>0$ $, $ $S \geqslant 3\sqrt[3]{3}$ $.

Spero che sia giusta!

Nell'ultima credo che intendessi $ 3\sqrt3 $. Per il resto è perfect.
Ottimo a tutti e due.

La mia soluzione faceva uso della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
$ [(a+1)+(b+1)+(c+1)]\left[\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\right]\ge(a+b+c)^2 $ da cui $ \frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+3}\ge\frac{3\sqrt3abc}{abc+3} $.

Ho corretto, grazie.
La tua soluzione e` piu` diretta e rapida