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Determinare tutte le coppie $ (x,y) $ di interi positivi che soddisfano l'equazione $ x!+y!=x^y $

Se $ x\le y $: $ x!(1+\frac{y!}{x!})=x^y $ cioè $ x!|x^y $. Poichè se x>2 x! contiene fattori che $ x^y $ non contiene (nessun numero è multiplo di tutti i precedenti). Quindi x=1 o x=2
1+y!=1 -> impossibile
$ \displaystyle 2+y!=2^y\Rightarrow y!=2(2^{y-1}-1)=2(2^{y-2}+2^{y-3}+...+2+1)\\\Rightarrow y!=2^{y-1}+2^{y-2}+...+4+2 $
Studiando l'equazione modulo 4:
$ y!=2\pmod 4 \Rightarrow y<4 $
Se y=1 si ha $ 2+1!\ne2^1 $; se y=2 si ha $ 2+2!=2^2 $; se y=3 si ha $ 2+3!=2^3 $. le soluzioni sono quindi le coppie (2,2) e (2,3)
Resta da esaminare il caso x>y...
edit: scritto una bestialità

Veluca ha scritto:$ $x|y! \Rightarrow x\le y$ $

$ $12|4! \not\Longrightarrow 12 \leqslant 4$ $

avresti anche ragione... penso a come sistemarla

Veluca ha scritto: Resta da esaminare il caso x>y...

Dai, che non e' poi cosi' difficile

Stirling?

dato che mi e' stato chiesto cos'e' sto Stirling, rispondo qui per utilita'
http://it.wikipedia.org/wiki/Approssima ... i_Stirling
$ $\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{2 \pi n} \, \left(\frac{n}{e}\right)^n }{n!} = 1 $

no, sbagliato. facendo i conti mi si era girato il maggiore. (mi era venuto $ ~x!>x^x $)
Stirling non e' cosi' di aiuto