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Nel piano cartesiano si consideri il triangolo di vertici (0,0), (0,1), (3/5,4/5) e sia $ \alpha $ l'angolo in radianti in (0,0)

Dimostrare che $ \alpha /\pi $è irrazionale.

Reginald ha scritto:Nel piano cartesiano si consideri il triangolo di vertici (0,0), (0,1), (3/5,4/5) e sia $ \alpha $ l'angolo in radianti in (0,0)

Dimostrare che $ \alpha /\pi $è irrazionale.

Diamo dei nomi ai punti. Siano $ A=(0,0) $, $ B=(0,1) $, $ C=(3/5 , 4/5) $. Con qualche conto si giunge subito alla conclusione che il triangolo in questione è isoscele, poiché $ AB = AC $. Se applichiamo una riflessione al triangolo rispetto alla bisettrice del II e IV quadrante ($ x=y $ per intenderci, non vorrei essermi confuso ) e tracciando l'altezza relativa alla base $ AB' $ (dove $ B' $ è il simmetrico di $ B $), notiamo che $ \alpha = arcsin(3/5) $.
Possiamo in oltre fare questa considerazione: l'angolo $ \alpha $ espresso in radianti sarà del tipo $ k \pi $ con $ k \in \Re $. Quindi mostrare che $ (k \pi)/\pi $ è irrazionale significa mostrare che $ k $ lo è, ovvero che non è esprimibile come rapporto di interi.

Qui però mi fermo perché non mi viene in mente altro al momento. Ci penserò su

potresti fare così, anche se mi sembra banale per un sns...: considerando le coordinate di aethemyth, ti calcoli BC=radice quadrata di (9/25 + 1/25)= radice quadrata di 10/5. A questo punto applichi il teorema di Carnot e con la formula inversa ti calcoli alpha. il suo coseno è 4/5, e quindi alpha risulta irrazionale.Il rapporto fra due numeri irrazionali è un nimero irrazionale.
non sono sicuro però....mi sembra un pò banale per essere un sns....forse non ho capito bene....

Ho posto tempo fa un problema simile; troverete l'inizio in "Rapporti goniometrici irrazionali" in matematica non elementare e la conclusione in "I seni dei multipli sono diversi" in geometria; sono entrambi stati proposti da me.

il prodotto (ergo anche il rapporto) di 2 numeri irrazionali e' indeterminato sulla sua appartenenza o meno ai razionali.
Lo stesso vale per la somma.

Frantumastrada ha scritto:Il rapporto fra due numeri irrazionali è un nimero irrazionale.

$ $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=2$ $

Non so se può servire ma avevo a suo tempo già visto questo problema e ne posto il testo per intero:
Sia il triangolo come sopra. Le richieste sono:
1)Esprimere gli altri angoli del triangolo in funzione di alfa, dove alfa è l'angolo nell'origine
2)Posto B(n)=(5^n)*sin(n*alfa), dimostrare che la successione B(n) soddisfa la relazione per ricorrenza B(n+1)=6B(n)-25B(n-1), con B(0)=0 e B(1)=4
3)Mostrare che per n=0,1,... gli interi B(n+1) e B(n+2) hanno lo stesso resto nella divisione per 5
4)Mostrare che alfa/pi è irrazionale
Mi ricordo di aver risolto i primi 3 punti senza grossi problemi e mi domandavo infatti se il 4 andasse risolto senza o con l'ausilio di quello che era stato mostrato ai primi 3 punti (in particolare al 2o e 3o).

Evinciamo dal disegno che $ \sin(\alpha)=4/5 $ e $ \cos(\alpha)=3/5 $.
Poniamo $ B(n)=5^n\sin(n\alpha) $. (D'ora in poi $ a $ sta per $ \alpha $)
Usando le formule di somma ottengo

$ B(n+1)=5(5^n)(\sin(na)\cos(a)+\sin(a)\cos(na))= $ $ 5(5^n)((3/5)\sin(na)+(4/5)\cos(na))= $ $ (5^n)(3\sin(na)+4(\cos(na)) $

$ B(n+2)=25(5^n)(\sin(na+a)\cos(a)+\sin(a)\cos(na+a))= $ $ 25(5^n)((3/5)\sin(na+a)+(4/5)\cos(na+a))= $ $ 25(5^n)((3/5)(\sin(na)\cos(a)+\sin(a)\cos(na))+(4/5)(\cos(na)\cos(a)-\sin(na)\sin(a))= $ $ 25(5^n)((3/5)(\sin(na)(3/5)+(4/5)\cos(na))+(4/5)(\cos(na)(3/5)-\sin(na)(4/5))= $ $ (5^n)(-7\sin(na)+24\cos(na)) $.

Sommando in maniera da far andare via i termini con $ \cos(na) $, ossia moltiplicando per -6 il termine B(n+1) ottengo:
$ B(n+2)-6B(n+1)=-25B(n) $ che è la tesi del punto 2.
Inoltre il fatto che $ B(n+1) $ e $ B(n+2) $ abbiano lo stesso resto nella divisione per 5 si evince dal fatto che $ 5|-25B(n)=B(n+2)-6B(n+1)=B(n+2)-B(n+1)-5B(n+1) $, quindi $ 5|B(n+2)-B(n+1) $ per cui $ B(n+1)\equiv B(n+2) \pmod 5 $.
Siccome $ B(1)\equiv 4 \pmod 5 $ allora tutti i termini della successione hanno resto 4 nella divisione per 5.
Per mostrare che $ \frac{\alpha}{\pi} $ sia irrazionale ragiono così:
per assurdo pongo $ \frac{\alpha}{\pi} =\frac{p}{q} $. Quindi il termine $ B(q)=0 $ non avrebbe più resto 4 nella divisione per 5. Assurdo per quanto mostrato al punto 3.

Non mi convince il fatto che si parli di divisibilità quando sono in gioco quantità non intere...potrei anche sbagliarmi ovviamente

beh B(0)=0 B(1)=4 (trovati a mano) e la formula per ricorrenza ha coefficienti interi, quindi B(n) dovrebbe essere intero per ogni n

Effettivamente facendo anche un paio di prove si vede che il $ ~5^n $ si semplifica sempre con un $ ~5^n $ che compare al denominatore

Il rapporto fra due numeri irrazionali è un nimero irrazionale

che gaffe.... ...mi sembrava troppo facile!!!....

Che B(n) è sempre intero si vede anche con De Moivre. Infatti sappiamo che sin(na) è un'espressione omogenea in sin(a) e cos(a) e quindi è sempre possibile raccogliere un (1/5^n). Mi chiedo se si possa mostrare che alpha/pi è irrazionale con altre cosiderazioni, magari solo geometriche...

considerando che stiamo parlando di un triangolo isoscele e applicando il teorema dei seni possiamo dire che sen(beta) e sen(gamma) sono uguali a 3/radicedi 10....a questo punto considerando che pigrego=arcsen(alpha)+2arcsen(beta), la formula da dimostrare diventa, se nn ho sbagliato qualche calcolo, arcsen(3/5)/(arcsen(3/5)+2arcsen(3/radice di dieci)), che semplificato diventa 1/(1+(2arcsen(3/radicedi10)/arcsen(3/5)). quindi basterebbe dimostrare che il rapporto 2arcsen(3/radice di10)/arcsen(3/5) è irrazionale per dimostrare il problema....poi ci provo più tardi... scusate se ci sono errori di calcolo ma vado di fretta.....HO FAME!!!!!!!
Buon appetito a tutti!!!