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Trovare tutte le coppie di interi positivi $ (x,y) $ che soddisfano l'equazione $ 2x^2+5y^2=11(xy-11) $


Da un Baltic Way di circa due lustri fa

Beh.....si trasforma in un'equazione di Pell di tipo più generale
$ x^2-dy^2=n $ e si risolve con le frazioni continue.......

C'e' un modo piu' rapido e... "piu'" elementare

mi sembrava troppo evidente............................

Ci provo.
Posso riscrivere l'equazione come $ 2x^2+5y^2-11xy+121=2x^2+5y^2-10xy-xy+121=0 $
Raggruppo $ 2x(x-5y)-y(x-5y)+121=0 $, $ (2x-y)(x-5y)=-121=ab $.
Ora, $ 2x-y>x-5y, \forall x,y \in Z^+ $, dunque ho tre possibilita': $ a=121, b=-1; a=11, b=-11; a=1, b=-121 $. I primi due casi non hanno soluzioni intere, e l'ultimo e' valido per $ (x,y)=(14, 27) $

Esatto!

Dopo aver pensato la prima sostituzione (11xy->10xy+xy) tutto veniva tranquillamente, a parte per il fatto che l'ultima coppia di fattori, (1, -127), all'inizio non mi era venuta in mente.

In ogni caso, l'equazione di Geda non si trasforma in un'equazione di Pell "generalizzata", perché il $ d $ che si ottiene (usando la stessa notazione di dalferro11) è un quadrato; infatti abbiamo trovato un'unica soluzione mentre le equazioni di Pell come quella scritta da dalferro11 ne hanno infinite oppure non ne hanno alcuna.

C'è come (quasi) sempre anche il metodo bovino: la considero come un'equazione di 2° grado in x e pongo il delta uguale ad un quadrato perfetto

Francescoveneziano ha ragione......comunque la mia intenzione era semplicemente di dire il metodo generale. Applicato il metodo si viene a notare che $ d $ è un quadrato perfetto. Vielen dank (grazie tante) per il chiarimento!!
Beh Un'altra cosa.... Il metodo cosiddetto "bovino" da g(n) non è poi così bovino.
E' il modo forse più generale per far vedere che un'equazione di questo tipo, può sempre essere ridotta ad un'equazione di Pell.....tolto il caso che $ d $ sia un quadrato perfetto.....