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Questi mi paiono interessanti:

1. Sia sigma automorfismo, e B campo. Dimostrare che, se sigma(B) è contenuto in B, allora coincide con B.

2. Sia E estensione di Galois di F, campo di caratteristica 0. Dimostrare che esiste a appartenente ad E tale per cui E = F(a) (suggerimento: analizzare il caso in cui E=F(a1,a2) e procedere per induzione).

mmmh non capisco bene il primo, se $ \sigma $ è un automorfismo, per definizione è una biiezione di $ B $ in se stesso, quindi mi pare ovvio che la sua immagine sia ancora $ B $.

Il suggerimento del 2 fa pensare che l'estensione E|F debba essere finita. In tal caso, è sempre vero che le estensioni finite siano generate da un solo elemento, senza l'ipotesi che l'estensione sia di Galois.

@hydro: forse l'ho scritto male, intendo B sottocampo di un campo C, l'automorfismo è tra C e C, e bisogna dimostrare che B viene fissato (non necessariamente puntualmente, anche solo globalmente). In effetti come l'avevo posto io era banale.

@pic88: in effetti l'ipotesi che sia di Galois appare sovrabbondante...

Ok, riscriviamo bene.

1) $ B \subset \mathbb{C} $ sottocampo, $ \sigma \colon \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} $ automorfismo con $ \sigma (B) \subset B $. Allora $ \sigma (B) = B $.

2) $ E/F $ estensione finita di campi di caratteristica 0. Allora E è un'estensione semplice, cioè generata da un solo elemento (la tesi è falsa in generale per estensioni infinite, ad esempio per $ \mathbb{Q}[x, y]/\mathbb{Q} $).