OliForum Matematico

Siano $ A=(a_1,\dots ,a_n) $ e $ B=(b_1,\dots ,b_n) $ due vettori a coefficienti in $ \mathbb{R} $ con $ a_1\ge \dots\ge a_n $ e $ b_1 \ge\dots\ge b_n $

Definizione: A maggiorizza B se e solo se

1) per ogni k compreso tra 1 e n si ha: $ \displaystyle\sum_{i=1}^k a_i\ge \sum_{i=1}^k b_i $

2) $ \displaystyle\sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n b_i $

Definizione: A magiorizza B se e solo se esiste una funzione $ f:S\to [0,1] $ (dove S è l'insieme delle permutazioni dei numeri da 1 a n) tale che:

1) $ \displaystyle (b_1,\dots ,b_n)= \sum_{\sigma\in S} f(\sigma )(a_{\sigma(1)},\dots ,a_{\sigma(n)}) $

2) $ \displaystyle\sum_{\sigma\in S} f(\sigma )=1 $

Tesi: A maggiorizza B se e solo se A magiorizza B.

Buona fortuna!

Una discussione su questo fatto si trova qui. (Non guardate prima di averci provato, mi raccomando, ovvero non fate come me... )

Una definizione alternativa di "magggiorizzazione" si può trovare anche qui.

@ Feddy: ugh, il thread di Mathlinks che hai linkato ha una soluzione decisamente superiore al mio livello di comprensione....

In ogni caso, un piccolo hint:

Allora, l'unica freccia interessante è: se A maggiorizza B, allora A magiorizza B. Potremmo dimostrarlo per induzione chiamando g il più piccolo intero positivo tale che $ a_g<b_g $ e avvicinando $ a_g $ e $ a_{g-1} $ tra di loro mantenedo costante la somma, fino a farne coincidere uno con il corrispondente $ b_i $...

Uhm, in più un problema in cui forse è leggermente più facile capire cosa bisogna fare...

Definizione: A maiorizza B se e solo se esiste $ f:\{ 1,\cdots ,n\} ^2\to [0,1] $ tale che:

1) per ogni i, $ \displaystyle b_i=\sum_{j=1}^{n} f(i,j)a_j $

2) per ogni i, $ \displaystyle\sum_{j=1}^{n} f(i,j)=1 $

3) per ogni j, $ \displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(i,j)=1 $

Tesi (vediamo se riuscite a indovinare): A maiorizza B se e solo se A maggiorizza B.

Da questo tra l'altro segue immediatamente Karamata...