OliForum Matematico

Sia $ f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+1 $ un polinomio a coefficienti reali non negativi con $ n $ radici reali. Si dimostri che $ f(x)\geq (1+x)^n $, $ \forall x\geq 0 $.

$ \displaystyle~f(x) $ non può avere radici $ \displaystyle~x_i\ge0 $, perché in tal caso sarebbe $ \displaystyle~f(x_i)\ge1 $.
Poniamo dunque $ \displaystyle~y_i=-x_i,~\forall~1\ge i\ge n $
Ora sappiamo che $ \displaystyle f(x)=(x+y_1)(x+y_2)\cdots(x+y_n) $
Abbiamo $ \displaystyle~\frac{a_{n-i}}{\binom{n}{i}}=\frac{\frac{a_{n-i}}{a_n}}{\binom{n}{i}}=\frac{\displaystyle\sum_{1\le k_1<k_2<\dots<k_i\le n}y_{k_1}y_{k_2}\cdots y_{k_i}}{\binom{n}{i}}\ge(y_1y_2\cdots y_n)^\frac{\binom{n-1}{i-1}}{\binom{n}{i}}=1 $ per AM-GM, dato che il prodotto degli y è 1.
Quindi $ \displaystyle~f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+1\ge x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}+\dots+\binom{n}{n-1}+1= $$ \displaystyle\binom{n}{n}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}+\dots+\binom{n}{i}x^i+\dots+\binom{n}{1}x+\binom{n}{0}=(1+x)^n $

Mi è venuta un idea... Non so quanto sia matematicamente corretta però, attendo una risposta da uno di voi! Chiamo $ (1+x)^n=g(x) $ Si può dimostrare facilmente che la tesi è vera per x=0 in quanto si ha che 1 è uguale a 1.
Inoltre si può dimostrare, facendo il limite per x che tende all'infinito di $ \frac{f(x)}{g(x)} $ che le due funzioni crescono "alla stessa velocità". Infatti il risultato di tale limite è un numero, ed esattamente $ a_n $ (Non so scrivere i limiti con il Latex)
Allora è evidente che, essendo le funzioni definite in 0;+ infinito (non so fare nemmeno gli intervalli con il Latex) e la condizione è vera per x=0, e inoltre entrambe le funzioni crescono allo stesso modo, g(x) non può "rimontare" ed essere in qualche punto maggiore di f(x). Scusatemi per come mi esprimo!
Ditemi se la soluzione va bene o no... =)

anche $ ~x^3 $ e $ ~x^3+x $ sono uguali in 0 e sono asintotici per x che tende a infinito, ma puoi trovare intervalli in cui sono alternativamente uno e' maggiore dell'altro
OT
$ ~]-\infty;+\infty[ $
$ $\lim_{x\to \infty} $
altra marea di es qui viewtopic.php?t=3153

@kn: puoi aiutarmi a capire questo passaggio?
$ \displaystyle~\frac{a_i}{a_n}=\frac{\sum_{sym}y_1y_2\cdots y_i}{\binom{n}{i}}\ge(y_1y_2\cdots y_n)^\frac{\binom{n-1}{i-1}}{\binom{n}{i}} $

Aspè, devono essere definite per x maggiore di 0, e in quel caso non ci sono intervalli in cui le tue due funzioni si alternano, no?... Cioè dal testo si sa che x dev'essere maggiore o uguale a 0 ma allora $ x^3+x $ sarà sempre maggiore di $ x^3 $... Oppure sto prendendo un enorme granchio da sonno... In ogni caso ho ancora moltissimo da imparare. Dai vado a dormire... notte a tutti

marcuz ha scritto:@kn: puoi aiutarmi a capire questo passaggio?
$ \displaystyle~\frac{a_i}{a_n}=\frac{\sum_{sym}y_1y_2\cdots y_i}{\binom{n}{i}}\ge(y_1y_2\cdots y_n)^\frac{\binom{n-1}{i-1}}{\binom{n}{i}} $

Scusa volevo scrivere $ \displaystyle~\frac{\frac{a_i}{a_n}}{\binom{n}{i}}=\frac{\sum_{sym}y_1y_2\cdots y_i}{\binom{n}{i}}\ge(y_1y_2\cdots y_n)^\frac{\binom{n-1}{i-1}}{\binom{n}{i}} $
È un'AM-GM... ogni y compare esattamente $ ~\binom{n-1}{i-1} $ volte (numero di combinazioni per gli altri i-1 y, scelti fra n-1)

ok, mi era scappato quel punto (eppure avevo riletto piu' volte)
dato che e' un polinomio con radici tutte negative, per $ ~x>0 $ e' strettamente crescente e quindi mi pare si possa concludere
qui aiuta che le radici sono tutte reali e negative, quindi per x positivo si "comporta bene"

kn ha scritto:

marcuz ha scritto:@kn: puoi aiutarmi a capire questo passaggio?
$ \displaystyle~\frac{a_i}{a_n}=\frac{\sum_{sym}y_1y_2\cdots y_i}{\binom{n}{i}}\ge(y_1y_2\cdots y_n)^\frac{\binom{n-1}{i-1}}{\binom{n}{i}} $

Scusa volevo scrivere $ \displaystyle~\frac{\frac{a_i}{a_n}}{\binom{n}{i}}=\frac{\sum_{sym}y_1y_2\cdots y_i}{\binom{n}{i}}\ge(y_1y_2\cdots y_n)^\frac{\binom{n-1}{i-1}}{\binom{n}{i}} $
È un'AM-GM... ogni y compare esattamente $ ~\binom{n-1}{i-1} $ volte (numero di combinazioni per gli altri i-1 y, scelti fra n-1)

Ma $ \displaystyle~\frac{a_i}{a_n}=\sum_{sym}y_1y_2\cdots y_i $ e $ \displaystyle~\frac{a_{n-i}}{a_n}=\sum_{cycl}y_1y_2\cdots y_i $ sono equivalenti? Scusa se sto dicendo cavolate ma sono alle prime armi...

Sì, hai ragione, c'è un altro errore Quanto alle somme, non sono né simmetriche né cicliche, poiché hanno $ ~\binom{n}{n-i}=\binom{n}{i} $ termini (e non n! o n)
La sintassi (spero) giusta dovrebbe essere:
$ \displaystyle~\frac{a_{n-i}}{a_n}=\sum_{1\le k_1<k_2<\dots<k_i\le n}y_{k_1}y_{k_2}\cdots y_{k_i} $

Ok ora l'ho capito Grazie