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Si consideri una $ n $-upla di numeri reali tutti di segno concorde $ (a_1,a_2,...,a_n) $. Determinare la più grande costante $ C $ (in funzione di $ n $ e $ k $) tale che
$ \displaystyle\sum_{cyc}\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}a_i}{\displaystyle\sum_{i=k+1}^{n}a_i}\ge C $

1) La disuguaglianza è omogenea, quindi pongo $ \sum{a_i}=1 $ (risulterà quindi $ a_i>0 $ per ogni $ i $)
2) Pongo $ \displaystyle{\sum_{i=k+j}^{n+j-1}{a_i}=b_j} $ (gli indici sono intesi modulo $ n $, ovviamente)
3) Per AM-HM $ \sum{b_i}\geq\frac{n^2}{n-k} $
4)$ \displaystyle LHS=\sum{\frac{1-b_i}{b_i}}=\sum{(\frac{1}{b_i}-1)}=(\sum{\frac{1}{b_i}})-n\geq\frac{n^2}{n-k}-n=\frac{kn}{n-k} $
5) Ponendo tutti gli $ a_i $ uguali, si ottiene effettivamente l'ugugaglianza, quindi $ C=\frac{kn}{n-k} $

Dal 2) si conclude anche con Jensen (come dice Max: perché perdere tempo a pensare? è convessa, punto XD)

@Psycho: mi sono sentito un cretino perché non riuscivo a capire il terzo punto..Ma credo che intendevi $ \displaystyle \sum\frac{1}{b_i}\ge\frac{n^2}{n-k} $, vero?
Comunque la soluzione è corretta, e questa disuguaglianza è un caso più generale della Nesbitt (che si ha ponendo $ n=3 $ e $ k=1 $ )

Ehm, sì, ovviamente è un refuso... ( maledetto latex ;_; )
Comunque, julio, evitiamo di abbattere le mosche a cannonate... Sopratutto visto che non so derivare
Ah, comunque volevo far notare che il caso dell'uguaglianza è simpaticissimo:

a_i=a_j se i-j è multiplo di g.c.d.(n,k)