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Trovare tutte le coppie p, q di primi (positivi) tali che $ 5x^2 + px + q $ abbia soluzioni razionali distinte.

allora affinche si abbiano soluzioni intere occorre che:

$ \displaystyle \Delta = p^2 - 20q = n^2 $

$ (p + n)(p - n) = 20q $

$ (p + n)(p - n) = 2^2 \cdot 5 q $

da cui con un po di casi si dovrebbe arrivare alla soluzione

Alex 90, già l'esercizio è facile, potresti almeno conlcuderlo..

(@ Veluca) : Trovare tutti i polinomi monici $ P(x) $ della forma $ x^n+p_1x^{n-1}+p_2x^{n-2}+...+p_n $ ,dove i $ \{p_i\} $ sono tutti primi, tali che $ P(-1) \neq 0 $ e tutte le radici sono razionali e distinte.

ok, mi sono accorto di aver fatto una domanda inutile... provo a dimostrarlo

$ x^n+p_1x^{n-1}+p_2x^{n-2}+...+p_n $
1) Se il polinomio ha radici razionali, esse sono divisori di $ p_n $ per il teorema del resto (mi pareva si chiamasse così ^^'). Di conseguenza se ha radici razionali esse sono comprese tra $ -p_n $, 1, $ p_n $ (-1 è escluso per ipotesi).
2) Il coefficiente di $ x^{n-1} $ sarà dunque $ p_n-p_n+1=1 $, che non è primo, e quindi non va bene. Allora il polinomio avrà al massimo due radici, cioè $ p_n,-p_n\vee p_n,1 \vee -p_n,1 \vee 1 \vee p_n \vee -p_n $
2.1) il primo caso non va bene perchè sarebbe $ p_1=0 $, che non è primo.
2.2) il polinomio può essere scritto come $ x^2-(p_n+1)x+p_n $, ovvero $ p_n $ deve essere pari e quindi 2: si ha il polinomio $ x^2-3x+2 $ che effettivamente ha radici razionali diverse da -1.
2.3) $ x^2+(p_n-1)x-p_n $, quindi $ p_n-1 $ deve essere un primo dispari --> $ x^2+2x-3 $ che effettivamente ha radici razionali diverse da -1.
2.4) x+1 -> 1 non è primo
2.5 e 2.6) $ x\pm p=0 $ con p primo che ha come radici $ \mp p $.

In definitiva i polinomi che verificano le condizioni sono $ x^2-3x+2 $, $ x^2+2x-3 $, $ x\pm p=0 $ con p primo

Quando ho imposto il coefficiente direttivo monico non mi sono reso conto che la forma delle possibili radici si semplificava ancora di piu e non potevo lasciarlo anch'esso come primo perchè si sarebbero tirati fuori problemi ancora aperti..
Vabo meglio di niente, almeno s'è capito come si risolve il problema di partenza

Visto che mi ci trovo scrivo anche una riga di soluzione per completare il thread..
Detto $ p(x)=5x^2+px+q $ allora $ p(\alpha)=0 \implies \alpha<0 $ e inoltre $ \alpha \in \{-1,-\frac{q}{5},-\frac{1}{5},-q\} $. Ma dato che sono razionali e distinti abbiamo due soli casi $ 1+\frac{q}{5}=\frac{p}{5} $ oppure $ \frac{1}{5}+q=\frac{p}{5} $ che portano a $ (p,q) \in \{(7,2),(11,2)\} $

jordan ha scritto:Alex 90, già l'esercizio è facile, potresti almeno conlcuderlo..

Perdono ma ero in montagna e usavo il portatile con la tastiera mezza rotta e quindi scrivere era piuttosto difficile