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Risolvere nei reali

$ $3^{\log x}\cdot x^{\log x+2}=300x$ $

Per $ $\log$ $ si intende $ $\log_{10}$ $

$ \displaystyle\frac{e^{\frac{1}{2} \sqrt{\log ^2(30)+4 \log (10) \log (300)}}}{\sqrt{30}} $

$ \displaystyle\frac{e^{-\frac{1}{2} \sqrt{\log ^2(30)+4 \log (10) \log (300)}}}{\sqrt{30}} $

Sto tentando di scrivere la soluzione ma non mi ricordo come si fa a scrivere gli esponenti "lunghi" in Tex... Help

noooooooooooooooooooooooooooooo preceduto!
Comunque io avevo trovato delle soluzioni molto più "snelle"

FeddyStra ha scritto:$ \displaystyle\frac{e^{\frac{1}{2} \sqrt{\log ^2(30)+4 \log (10) \log (300)}}}{\sqrt{30}} $

$ \displaystyle\frac{e^{-\frac{1}{2} \sqrt{\log ^2(30)+4 \log (10) \log (300)}}}{\sqrt{30}} $

fede90 ha scritto:Per $ $\log$ $ si intende $ $\log_{10}$ $

A me viene $ \displaystyle~x=10 \vee x=\frac{1}{300} $

La posto lo stesso anche perchè mi sembra più semplice di una riga di esponenziale in base e (Stra non odiarmi, riconosco comunque la tua legittima superiorità... )

Estraggo $ log $ da ambo i membri ottenendo
$ log(3^{log(x)} * x^{log(x)+2})=log(300x) $

Applicando le proprietà ottengo
$ log(3^{log(x)}+log(x{log(x)+2}=log(300)+log(x) $

$ log(x)*log(3)+(log(x)+2)*log(x)=log(300)+log(x) $

$ (log(x))^2+(1+log(3))*log(x)-log(300)=0 $

Ricordando che $ log(300)=log(3)+2 $ si può risolvere l'equazione di secondo grado in $ log(x) $ottenendo:

$ log(x)=1 $ v $ log(x)=-2-log(3) $ da cui:

$ x=10 $ v $ x=10^{-2-log(3)} $ cioè $ x=1/300 $

Oppure direttamente pongo $ \displaystyle~t=\log x $, da cui
$ \displaystyle~3^t ({10}^t)^{t+2}=3 \cdot{10}^2 {10}^t $
$ \displaystyle~3^t {10}^{t^2+2t}=3 \cdot{10}^{t+2} $
$ \displaystyle~3^{t-1} {10}^{t^2+t-2}=1 $
$ \displaystyle~(3 \cdot{10}^{t+2})^{t-1}=1 $
$ \displaystyle~t-1=0~\vee~3 \cdot{10}^{t+2}=1 $
$ \displaystyle~t=1\vee t=\log\frac{1}{300} $
$ \displaystyle~x=10\vee x=\frac{1}{300} $