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Siano $ (a,b) $ due interi positivi fissati.

Sia dato un triangolo di base e altezza $ a+b $. Sapendo che l'altezza divide la base in parti proporzionali ad $ a $ e $ b $, il triangolo puo avere tutti i lati interi?

Tento, anche se credo proprio sia sbagliata...
Dato che non so disegnare in Tex cerco di descrivere la figura su cui mi baso:
triangolo con base AB (A a sinistra) e altezza CH. Il testo dice che CH=AB e che detto AH=m e BH=n si ha $ \frac{m}{a} = \frac{n}{b} $ e $ m+n=a+b $ da cui si ricava in fretta che $ a=m $ e $ b=n $. Ora detti i 2 lati obliqui $ AC=c $ e $ BC=d $, per il TEOREMA DI CARNOT, si avrà: $ d^2=(a+b)^2+c^2-2*(a+b)c*cos A $ (dove A è l'angolo in A). Supponendo ora per assurdo che c e d siano interi si dovrà avere $ cos A $ intero a sua volta. Ma questo è possibile solo se $ cos A=-1 $ cioè per $ A=180° $ che è palesemente assurdo; $ cos A=0 $ cioè $ A=90° $ ma in tal caso H andrebbe a coincidere con A e si otterrebbe un triangolo rettangolo isoscele in cui dunque l'ipotenusa misurerebbe $ rad2 $ (mi dispiace ma non so scrivere la radice ) che non è intero; o infine $ cos A=1 $ da cui $ A=0° $ o $ A=360° $ che portano di nuovo ad assurdi. Sembra giusta?

$ $\cos{A}=\frac pq $ con $ ~q|2(a+b)c $?

Si scusate ho scritto una marea di eresie...