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Partendo solo dagli assiomi di Hilbert, dimostrare che, dato un punto e data una retta, esiste una perpendicolare a quella retta per quel punto. Si definisca la perpendicolare come la retta che interseca l'altra retta con un angolo retto, e si definisca un angolo retto come quello congruente al suo supplementare, definito a sua volta come l'angolo individuato dal prolungamento di una delle due semirette e dall'altra semiretta.

Moderatore: Sorry ma se si parla di assiomi di Hilbert per me è MNE, sposto.

Soluzione:

Supponiamo che P non stia su l, e siano A e B due punti su l (assioma I-2). Allora, dalla parte opposta di P rispetto a l, esiste una semiretta AX-> tale per cui gli angoli <XAB e <PAB> per il quale AP’ = AP (C-1). Ora, il segmento PP’ interseca l, in un punto che chiamiamo Q, questo per definizione di parti opposte; potrà essere che Q = A, caso nel quale sarà che <PP> perpendicolare ad l per definizione, oppure che Q non coincida con A, caso nel quale i triangoli PAQ e P’AQ sono congruenti per il criterio LAL. Pertanto, <PQA e <P’QA sono congruenti in quanto angoli corrispondenti, per cui <PP> è perpendicolare ad l, sempre per definizione di perpendicolarità. Supponiamo ora che P stia su l. Dal momento che esistono punti che non stanno su l, possiamo tracciare una perpendicolare da uno di essi verso l, utilizzando i passi visti in precedenza, ottenendo in questo modo un angolo retto. Ora, possiamo identificare un angolo congruente a questo angolo retto con un vertice in P e un lato su l (per C-4): l’altro lato di questo angolo è parte di una retta passante per P e perpendicolare ad l.

Te lo sei risolto da solo?

Questa l'ho trovata su di un testo.

Quello che è interessante è notare come l'esistenza della perpendicolare sia un teorema di geometria neutrale, valido non solo nel caso euclideo.