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Trovare tutte le soluzioni intere positive di $ a^2+5b^2=2c^2+2cd+3d^2 $.

Sia $ d $ dispari: $ a^2+5b^2 $ deve essere dispari, quindi $ a $ e $ b $ devono avere parita' discorde. In entrambi i casi il primo membro dell'equazione e' $ \equiv 1 \pmod{4} $ mentre per il secondo mebro si ha $ 2c(c+d)+3d^2\equiv 3 \pmod{4} $. Risultato: $ d $ deve essere pari e anche il primo membro dell'equazione (quindi $ a,\,b $, entrambi pari o entrambi dispari).

Caso a) $ a,\,b $ entrambi pari: si vede che anche $ c $ deve essere pari, ma allora

$ 4(a'^2+ 5b'^2)=4(2c'^2 +2c'd' +3d'^3) $ e si va sempre al caso b)

Caso b) $ a,\,b $ entrambi dispari: $ c $ non puo' essere pari, sempre $ \pmod{4} $. Inoltre $ d $ e' pari ma non e' divisibile per $ 4 $ e lo si vede nell'equazione $ \pmod{8} $. Allora studiamo l'equazione $ \pmod{8} $

$ 6\equiv 2 +4cd' + 12d'^2 \pmod{8} $, cioe'

$ -8 \equiv 4cd' \pmod{8} $ o, meglio, $ 4cd'\equiv 0 \pmod{8} $, poiche' $ d'^2\equiv 1 \pmod{8} $

cioe' $ cd' \equiv 2 \pmod{8} $ ma non puo' essere perche' sia $ c $ che $ d' $ sono dispari.


Mi pare allora che non ci siano soluzioni.... se non ho sbagliato qualcosa...

Soluzione giusta!
Piccola nota $ 8|4xy $ non implica $ 8|xy-2 $ bensi $ 2|xy $

Soluzione alternativa:
$ 2(a^2+5b^2)=(2c+d)^2+5d^2 $. Guardando mod5, se $ (a,b,2c+d,d) $ è soluzione lo è anche $ (\frac{a}{5},\frac{b}{5},\frac{2c+d}{5},\frac{d}{5}) $ per cui discesa infinita