OliForum Matematico

Sia $ P $ l'insieme dei primi.
Definiamo la sequenza:
$ a_0=3 $
$ a_1=0 $
$ a_2=2 $
$ a_{n+3}=a_{n+1}+a_n $ per ogni $ n\ge 0 $

Mostrare che $ p \in P \implies p|a_p $

jordan ha scritto:Sia $ P $ l'insieme dei primi.
Definiamo la sequenza:
$ a_0=3 $
$ a_1=0 $
$ a_2=2 $
$ a_{n+3}=a_{n+1}+a_n $ per ogni $ n\ge 0 $

Mostrare che $ p \in P \implies p|a_p $

Editato messaggio delirante

Cosa cambia a chiamarlo n o p?
Però credo che non torni qualcosa perchè a_5 = 6

albert_K ha scritto:Cosa cambia a chiamarlo n o p?
Però credo che non torni qualcosa perchè a_5 = 6

LoL

deliravo, è uguale, ma visto aveva definito a_n, dire n in P funziona meglio

comunque a_5 = 5

Haile ha scritto:
deliravo,

comunque a_5 = 5

... che è proprio quanto fa 2+3. Direi che in quanto a deliri ho vinto io

Vista l'immensa quantità di problemi del buon jordan che sono stati allegramente abbandonati a sé stessi, posto la mia soluzione a questo:

Siano $ \alpha , \beta , \gamma $ le radici del polinomio $ x^3-x-1 $

Si può verificare facilmente che $ a_n=\alpha ^n +\beta ^n +\gamma ^n $

Sia p un generico primo. Consideriamo il polinomio $ x^3-x-1 $ come un polinomio a coefficienti in $ \mathbb{F}_p $ e prendiamo il suo campo di spezzamento che chiamiamo $ \mathbb{F} $. Chiaramente $ \mathbb{F} $ ha caratteristica p.

Quindi ragionando in $ \mathbb{F} $ abbiamo che:

$ a_p=\alpha ^p +\beta ^p +\gamma ^p =(\alpha +\beta +\gamma)^p=a_1 ^p =0^p =0 $ da cui la tesi.

Che onore mastro piè si naturalmente tutto giusto (il motivo di tutti questi problemi comunque è che ne sto cercando uno per finire l'olicontest.. ma alcuni tipo questo mi sembrano troppo carucci )

Piever piever, the devil is in the details; così com'è la dimostrazione non va.
Su, cercate il passaggio avventato e correggetela.

jordan ha scritto:naturalmente tutto giusto

FrancescoVeneziano ha scritto:così com'è la dimostrazione non va

Suvvia, almeno mettetevi d'accordo

Comunque la ho ricontrollata ma non trovo l'errore... Provo a riassumerla in vari passaggio, così magari ai futuri lettori sarà più chiaro dov'è l'errore:

1) sposto il problema dai naturali, dove era inizialmente stato concepito, al mio amato $ \mathbb{F}_p $ Ora la tesi diventa che $ a_p=0 $

2) se esistessero tre radici di $ x^3-x-1 $ potrei scrivere $ a_n=\alpha ^n+\beta ^n +\gamma ^n $ e sarebbe un passo avanti, ma non necessariamente il mio polinomio si scompone in fattori lineari nel mio simpatico campo $ \mathbb{F}_p $

3) ma io so che esiste il campo di spezzamento di un polinomio, che è un'estensione di $ \mathbb{F}_p $ dove il mio polinomio si scompone in fattori lineari. Lì, posto $ x^3-x-1=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma ) $ non ho difficoltà a dimostrare che $ a_n=\alpha ^n+\beta ^n +\gamma ^n $ per induzione.


4) ragionando nel mio simpatico campo di spezzamento, ho che $ a_p=\alpha ^p +\beta ^p +\gamma ^p =(\alpha +\beta +\gamma)^p=a_1 ^p =0^p =0 $ da cui la tesi.

L'unico passaggio non ovvio è $ \alpha ^p +\beta ^p +\gamma ^p =(\alpha +\beta +\gamma)^p $ che però è vero in quanto tutti gli altri monomi della potenza del trinomio compaiono un numero di volte multiplo di p, quindi siccome la caratteristica del mio campo di spezzamento è p, valgono 0.

EDIT: mi dicono che la dimostrazione funziona, è solo scritta terribilmente male..