OliForum Matematico

Quanti interi positivi $ $n $ hanno la proprietà che la loro rappresentazione in base 2 coincide con la rappresentazione in base 3 di $ $2n $ ?
Domanda:

Sono arrivato a dimostrare n = 6r oppure 6r-1 ma non so come concludere...

sbaglio o era un febbraio?
mi pareva che bastasse dimostrare che $ 3^k>2^{k+2}>2^{k+2}-2=2(2^k+2^{k-1}+...+1) $ se k>3, riducendosi così ai numeri di 1-4 cifre in base 2.
infatti, per induzione, si ha, con k=4, $ 81>64 $ e, moltiplicando per 3 da una parte e 2 dall'altra si ottiene una disuguaglianza ancora vera.
perciò il doppio di un qualsiasi numero di più di 4 cifre in base 2 sarà minore (strettamente) del numero scritto con le stesse cifre ma in base 3
edit: e poi si provano un po' di casi xD 16 in tutto... ne dovrebbero venire solo 2 se mi ricordo bene
edit2: ora che ci penso i casi sono solo 8, perchè i numeri che finiscono per 1 vanno esclusi in quanto il numero corrispondente in base 3 sarebbe dispari, che non va ovviamente bene

Veluca ha scritto:sbaglio o era un febbraio?

Questo febbraio

@Veluca
Puoi chiarirmi la parte dell'induzione? cioè cosa significa che la disuguaglianza è ancora vera?
Supponi $ 3^k < 2^{k+2} $ per ogni $ k \ge 0 $:
prendo $ 3^0=1<2^2=4 $ poi moltiplico da una parte per 3 e dall'altra per 2 e ottengo $ 3<8 $ che è ancora vero...ma questo non significa che $ 3^k < 2^{k+2} $ è sempre vero...
Grazie

$ ~3^k<2^{k+2} $ se e solo se $ $k<\frac{\ln{4}}{\ln{3/2}}<3.42 $
ragazzi non ho capito a che serve l'induzione

appunto è quello che mi chiedevo anche io, perciò volevo chiarimenti

SkZ ha scritto:$ ~3^k<2^{k+2} $ se e solo se $ $k<\frac{\ln{4}}{\ln{3/2}}<3.42 $
ragazzi non ho capito a che serve l'induzione

Mi scrivi i passaggi che hai fatto per trovare quello che hai trovato?

Per quale k sono uguali? devi risolvere $ 3^k=2^{k+2} \Rightarrow e^{k\ln3}=e^{(k+2)\ln2} \Rightarrow k\ln3=k\ln2+2\ln2 $
Ora, dato che $ y\ln x=\ln(x^y) $ e $ \ln x-\ln y= \ln(\frac{x}{y}) $,
$ \displaystyle k=\frac{\ln4}{\ln\frac{3}{2}} $
@SkZ: come fai a mettere "ln" in bella grafia?
EDIT: modificati i "ln", grazie SkZ!

tutte le funzioni in $ ~\LaTeX $ si scrivono mettendo un \ prima
\sin \cos \ln \log \tan \sinh ...