OliForum Matematico

Ciao ragazzi!

Oggi a scuola ho visto che quando al denominatore c'è $ \sqrt{x} $ oppure che so $ \sqrt{x}+\sqrt{y} $ si può sempre razionalizzare (basta moltiplicare sopra e sotto per $ \sqrt{x} $ nel primo caso o $ \sqrt{x}-\sqrt{y} $ nel secondo).

Pensandoci bene a casa mi sono reso conto che qualsiasi scrittura di quel tipo (cioè con un po' di lettere, somme, sottrazioni, prodotti e radici - non necessariamente quadrate, anche terze, quarte o di più - anche i radicali doppi vanno bene) è sempre razionalizzabile...

Provate a dimostrarlo...

Ciao federiko97! (ma se 97 è il tuo anno di nascita non è troppo presto per frequentare questi brutti posti? )

Riguardo il problema, all'inizio mi sembrava banalotto ma non lo è affatto, quindi sei proprio sicuro di ciò che affermi?

anche perchè col tempo mi sono convinto, e forse sono riuscito anche dimostrato, che ad esempio $ $ \frac {1}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}$ $ non sia razionalizzabile.

Potreste avere ragione tutti e due, mettetevi prima d'accordo su cosa vuol dire "razionalizzare"...

Uhm, una definizione possibile di razionalizzare è questa:

diciamo che un quasipolinomio è un polinomio in cui gli esponenti delle variabili invece che interi nonnegativi sono razionali nonnegativi

un quasipolinomio $ q $ a coefficienti in $ \mathbb{C} $ (ma potremmo anche fare questo giochetto in $ \mathbb{R} $ o in $ \mathbb{Q} $ se non mi sbaglio) è razionalizzabile se esiste un altro quasipolinomio $ r $ tale che $ q\cdot r $ è un polinomio.

Ad esempio $ q(x,y)=\sqrt{x}+\sqrt{y} $ è razionalizzabile in quanto, posto $ r(x,y)=\sqrt{x}-\sqrt{y} $, sia ha che $ q(x,y)\cdot r(x,y)=x-y $ che è un polinomio.

Ora la tesi diventa: ogni quasipolinomio è razionalizzabile.

PubTusi ha scritto:anche perchè col tempo mi sono convinto, e forse sono riuscito anche dimostrato, che ad esempio $ $ \frac {1}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}$ $ non sia razionalizzabile.

Davvero? Come lo hai dimostrato?

nn direi..: qndo si parla di razionalizzare si parla di una frazione con una roba che contiene radici al denominatore, di cui si vuole trovare una frazione equivalente ke nn abbia qste radici al denominatore. Seguendo la tua definizione di quasipolinomio, la definizione dovrebbe essere la seguente: si dice che un rapporto fra due quasipolinomi e razionalizzabile, se e equivalente al rapporto fra un quasi polinomio e un polinomio.

come l'ha esposto Febo e' piu' generale, ma equivalente alle richieste.

messa in sistetico
definito $ ~\mathcal{Q}_n $ l'insieme dei quasi-polinomi $ ~\mathbb{C}^n\mapsto \mathbb{C} $ e $ ~\mathcal{P}_n $ l'insieme dei polinomi $ ~\mathbb{C}^n\mapsto \mathbb{C} $
$ ~\forall q\in\mathcal{Q}_n\;\exists r \in \mathcal{Q}_n : q\cdot r\in \mathcal{P}_n $

Pubtusi, ti sei convinto di una cosa falsa.
Chiamiamo $ \zeta $ una radice terza primitiva dell'unità e sia
$ A=\displaystyle\prod_{i,j,k=0}^2 \zeta^i \sqrt[3]{x}+\zeta^j \sqrt[3]{y}+\zeta^k \sqrt[3]{z} $
si può dimostrare, usando un po' di teoria di Galois oppure svolgendo il prodotto di quei 27 trinomi e ricordando che $ \zeta^2+\zeta+1=0 $, che A è un polinomio in x,y,z a coefficienti razionali e da questo si ricava un'espressione "razionalizzata" di $ \frac{1}{ \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}} $.

Eh si, avevo trovato l'errore che ho fatto e stavo per scriverlo sul forum.
Anche i migliori sbagliano

Purtroppo non so cosa sia la teoria di Galois, ne come si faccia il prodotto di 27 trinomi.

Senza i cannoni di FrancescoVeneziano , nel caso particolare (se non ho sbagliato tutto ) si può razionalizzare con un trucchetto. Hint:

Usare l'identità a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc)

Uhm, le cose si fanno sempre più interessanti....

L'idea di usare le radici dell'unità sembra interessante... Credo si riesca a concludere, usando l'idea di FrancescoVeneziano, in maniera completamente elementare.

Qualcuno che si cimenta?

Hint: considerate \displaystyle q(x_1,\dots ,x_n)=\prod_{a_1\dots ,a_n =0}^{k-1} q(x_1\zeta ^{a_1},\dots ,x_n\zeta ^{a_n}) dove \zeta è una radice primitiva k-esima e k è il minimo comune denominatore degli esponenti del quasipolinomio q

PubTusi ha scritto:Ciao federiko97! (ma se 97 è il tuo anno di nascita non è troppo presto per frequentare questi brutti posti? )

Riguardo il problema, all'inizio mi sembrava banalotto ma non lo è affatto, quindi sei proprio sicuro di ciò che affermi?

anche perchè col tempo mi sono convinto, e forse sono riuscito anche dimostrato, che ad esempio $ $ \frac {1}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}$ $ non sia razionalizzabile.

Veramente sono del 92, ma Federiko92 era già occupato In più 97 è un numero primo
Comunque guarda, sono sicuro che anche $ $ \frac {1}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}$ $ sia razionalizzabile. E in ogni caso no, il problema non è banalotto, anzi...

memberlist.php?mode=username&order=ASC&start=3000
Federiko92 è libero..
EDIT: maledetto spiglerg!! L'hai creato adesso!

Guarda che e' registrato..

Suggerisco "Federinko92". No, scherzo.

Uhm, ma concentrarsi sul problema, piuttosto?