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n|(n-1)!
Inviato: 26 mar 2009, 16:32
da Haile
Da lasciare ai non troppo esperti:
Sia $ $n > 5$ $ un intero.
Si dimostri che $ $n$ $ è composto se e solo se $ $(n-1)! \equiv 0 \pmod n$ $
Buon lavoro.
Inviato: 26 mar 2009, 16:52
da Tibor Gallai
Allora diciamola tutta:
mostrare che $ ~\displaystyle (n-1)! \equiv -1 \pmod n $ se (e solo se) n>1 è primo.
Inviato: 27 mar 2009, 17:50
da gismondo
(n-1)! è il prodotto di tutti i numeri interi da 1 a (n-1)
Se a questo oggetto noi sommiamo 1, otteniamo un valore (chiamiamolo A) che non può essere diviso dai numeri da 1 a (n-1) perchè darebbe resto 1.
Se A è divisibile per n, allora n dovrà essere primo, perchè se fosse composto, allora A sarebbe divisibile per uno qualsiasi dei suoi fattori, i quali però ricadono nell'intervallo 1-(n-1), che abbiamo già dimostrato non possono dividere A.
Spero sia chiaro
Inviato: 27 mar 2009, 17:51
da gismondo
(n-1)! è il prodotto di tutti i numeri interi da 1 a (n-1)
Se a questo oggetto noi sommiamo 1, otteniamo un valore (chiamiamolo A) che non può essere diviso dai numeri da 1 a (n-1) perchè darebbe resto 1.
Se A è divisibile per n, allora n dovrà essere primo, perchè se fosse composto, allora A sarebbe divisibile per uno qualsiasi dei suoi fattori, i quali però ricadono nell'intervallo 1-(n-1), che abbiamo già dimostrato non possono dividere A.
Spero sia chiaro
Inviato: 27 mar 2009, 20:00
da Tibor Gallai
gismondo ha scritto:Spero sia chiaro
E' chiarissimo (doppiamente chiaro!), ma non risponde né al quesito di Haile, né al mio.
Inviato: 27 mar 2009, 20:39
da gismondo
(scusatemi per il doppio post precedente)
Grazie della risposta...
Potresti spiegarmi perchè non risponde al tuo quesito? Mi sembra che con quel procedimento ho fatto vedere che n dev'essere per forza primo...
Grazie
Inviato: 27 mar 2009, 21:11
da Tibor Gallai
Esatto, ma quell'implicazione l'avevo messa tra parentesi, perché banale. Quella interessante è l'altra implicazione: se n è primo, divide (n-1)!+1.
Inviato: 28 mar 2009, 15:44
da julio14
TG's problem (che avevo dimostrato per sbaglio in una discussione con jordan):
Tolti 1 e -1, ogni classe di resto si "accoppia" con il suo inverso per dare prodotto 1, mentre 1 e -1 sono gli unici inversi di sè stessi perché $ $g^{2x}\equiv1\pmod p $ ha ovviamente come uniche soluzioni $ $p-1 $ e $ $\frac{p-1}2 $. Quindi il prodotto totale è -1.
Btw per chi non lo sapesse, questo si chiama teorema di Wilson.