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Ciao a tutti! Ho trovato un esercizio che penso che per voi possa essere risolto molto facilmente in maniera olimpica, ma che io riesco a risolvere solo con l'analisi; riuscireste ad aiutarmi?

Sapendo che x e y sono numeri reali positivi tali che $ x+y=2 $, determinare il massimo valore che può assumere $ x^2y $

Grazie mille!

Premessa: disuguaglianza AM-GM (Aritmetic Mean-Geometric Mean)
Data una n-upla di reali positivi $ (a_1,\ldots,a_n) $ si ha che $ \displaystyle\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_{n-1}a_n}\le\frac{a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}+a_n}{n} $

Per la AM-GM possiamo scrivere
$ \displaystyle\sqrt[3]{\frac{x}{2}\cdot\frac{x}{2}\cdot y}\le\frac{\displaystyle\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y}{3} $
cioè svolgendo i conti
$ x^2y\le4\left(\frac{x+y}{3}\right)^3=4(2/3)^3=32/27 $
Dunque il massimo valore che può assumere $ x^2y $ è 32/27.

Se non è chiaro qualcosa o non conosci la disuguaglianza sopra citata, basta chiedere

Sì, sì, grazie mille, sei stato chiarissimo!

Se ti interessano, su wikipedia trovi anche alcune dimostrazioni della disuguaglianza (fra cui una "truccosissima" e una fighissima).

http://en.wikipedia.org/wiki/Inequality ... tric_means

L'esercizio si presta ad una interessante generalizzazione ( credo !).
Nelle medesime ipotesi del testo si voglia il massimo di $ \displaystyle x^ny^m $ con x+y=k ( costante) m,n interi positivi.Si ha allora:
$ \displaystyle x^ny^m=n^nm^m(\Pi_n\frac{x}{n}\cdot\Pi_m\frac{y}{m})\leq n^nm^m(\frac{n\cdot\frac{x}{n}+m\cdot \frac{y}{m}}{n+m})^{n+m}=n^nm^m(\frac{k}{n+m})^{n+m} $
Pertanto il massimo richiesto è =$ \displaystyle n^nm^m(\frac{k}{n+m})^{n+m} $ e si ottiene per $ \displaystyle \frac{x}{n}=\frac{y}{m} $ .

Ovvero quando le variabili x,y sono proporzionali ai rispettivi esponentì
con cui compaiono nel prodotto da massimizzare.

Nel caso particolare postato risulta n=2 ed m=1 e quindi si ha il semplice sistema:
$ \displaystyle{x+y=2,\frac{x}{2}=\frac{y}{1}} $ che risolto porta al risultato già trovato.

Questo risultato si estende anche al caso di n,m razionali e può essere di aiuto nel risolvere problemi di massimo senza ricorrre all'analisi.
Per esempio si voglia il massimo di $ f(x)=x\cdot \sqrt{3-2x} $ in [0,3/2]
Si ha:
$ \displaystyle f(x)=\frac{1}{2}(2x)\cdot(3-2x)^{\frac{1}{2}} $
Essendo in ]0,3/2[ 2x>0,3-2x>0,2x+3-2x=3=costante il massimo si raggiunge per $ \displaystyle \frac{2x}{1}=\frac{3-2x}{1/2} $ ovvero per x=1