OliForum Matematico

Prendiamo i 90 bussolotti della tombola (numerati da 1 a 90); quanti sono
i modi di disporli sul cartellone della tombola (recante spazi numerati da
1 a 90) di modo che nessun bussolotto occupi la posizione corrispondente
al proprio numero?
avevo pensato al principio di inclusione-esclusione, ma mi sembrava un tantino lungo il calcolo

Calcolo il numero delle permutazioni di 90 elementi che lasciano almeno un elemento invariato:
$ $$S=\sum_{i=0}^{90} \binom{90}{i} = 2^{90}$$ $
Posso disporre i bussolotti della tombola nel seguente numero di modi:
$ $$N=90! - S = 90! - 2^{90} $$ $

Ci provo...

Allora partiamo dal un numero qualsiasi, lo possiamo ovviamente mettere in $ n-1 $ posti, prendiamo un secondo numero, diverso dalla casella occupata, questo lo potremo mettere in $ n-2 $ posti...e così via quindi la risposta dovrebbe essere in $ 89! $ modi


edit: provo anche a smentire la risposta di spigler:

prendiamo un caso più semplice, ad esempio anzichè con 90 numeri con 3, secondo la tua formule i modi sono $ 3! - 2^3 = -2 $...

Credo sia giusto il tuo ragionamento.
Tra l'altro, nel contare il numero di modi errati, non ho considerato le permutazioni dei rimanenti elementi.

Né quella di spiglerg, né quella di Alex90 è la soluzione giusta. Ha ragione iademarco nel voler optare per l'inclusione-esclusione, e vi esorto a seguire il suo consiglio, anche perché il calcolo non è così lungo come sostiene.
Se vi arrendete, la soluzione si trova più o meno in qualsiasi testo o dispensa di introduzione alla combinatoria enumerativa, si trova su questo forum e su mathlinks in numerose discussioni, all'incirca in tutte le varianti classiche, sulle schede olimpiche, su wikipedia, e più o meno in qualsiasi posto linkato da google alla query "derangement" (escludendo quelli sui disordini mentali).

Ha ragione Tibor Gallai, e si tratta di permutazioni senza punti fissi.
Se non erro funziona così:
Consideriamo un insieme di cardinalità n.
Le permutazioni senza punti fissi sono
$ $+n! $ permutazioni totali
$ $-{n\choose1}(n-1)! $ permutazioni con almeno un punto fisso
$ $+{n\choose2}(n-2)! $ permutazioni con almeno due punti fissi
...
$ $(-1)^i{n\choose i}(n-i)! $ permutazioni con almeno i punti fissi
...
$ $(-1)^n{n\choose n}(n-n)!=(-1)^n $ permutazioni identiche

Quindi in totale sono
$ $\sum_{i=0}^n(-1)^i{n\choose i}(n-i)!=n!-n!+\frac{n!}{2!}-\frac{n!}{3!}+\ldots+(-1)^n\frac{n!}{n!}=n!\sum_{i=0}^n(-1)^i\frac{1}{i!} $

per alex90:
il tuo metodo non funziona già con 4 bussolotti della tombola:
se calcoli i possibili modi di posizionare i 4 bussolotti, ognuno al posto sbagliato, con il principio di inclusione-esclusione viene 9, mentre secondo il tuo ragionamento dovrebbero essere soltanto 3!
con 5 bussolotti poi, dovrebbero essere 44, mentre con il tuo ragionamento 4!
quindi non mi sembra questa la strada giusta

oops sono stato preceduto