OliForum Matematico

mettendo 8 regine su di una scacchiera 8X8, qual è il numero minimo di caselle che esse potranno controllare?

mettendo 4 regine su di una scacchiera 8X8, qual è il numero massimo di caselle che esse potranno controllare?

non saranno proprio problemi olimpici, ma sono comunque molto belli

ma non ci prova nessuno!?!

non avere fretta (comunque credo che questo andasse in matematica ricreativa)
Domanda: consideri le caselle occupate dalle donne controllate 'da loro stesse' oppure devono controllate da un'altra delle donne?

1) mi è venuto 56, ho messo le donne in a1,a8,b2,b7,g2,g7,h1,h8
2) mi è venuto 61, ho messo le donne in a4,d5,g1,h8

In entrambe le soluzioni (saranno giuste poi? mah ) ho considerato le caselle occupate controllate anche se in linea teorica un pezzo non controlla la casa in cui è posizionato...

Provo il secondo: sicuramente è possiblie coprire almeno 48 caselle mettendo le 4 regine su righe e colonne tutte diverse. Inoltre vi sono le caselle coperte dalle diagonali che secondo una dimostrazione che non so fare non possono aggiungerne più di altre 13. Ok... L'ho fatto per "tentativi ragionati" quindi è probabile che vi sia una soluzione più alta di 61 anche se mi sentirei di escluderlo... Quindi per me la soluzione è ad esempio: A2, C7, E4, H5 , che lascia scoperte 3 caselle. C'è una soluzione un po' più seria? Immagino di sì...

EDIT: preceduto... E anche con soluzione ad entrambi...

Thebear ha scritto:EDIT: preceduto... E anche con soluzione ad entrambi...

Sì...soluzioni probabilmente sbagliate!

e pak-man ha ragione...soluzione sbagliate, ma di poco però
per quanto riguarda la soluzione più seria, potrà anche esserci, però io non la so...
è per questo che ho scritto che non è proprio un esercizio olimpico

Ci provo. Ragionandoci, una regina ha più caselle a disposizione tanto più è vicina al centro (perchè esso è il punto di massima distanza dai bordi, e poichè questa distanza è uguale su ognuno dei bordi, essendo la scacchiera un quadrato, il ragionamento dovrebbe essere valido). Dunque 4 regine devono essere poste spalla a spalla sulle 4 centrali. Le altre 4 regine devono essere messe invece alla massima distanza possibile da quelle centrali, che vuol dire ai 4 vertici della scacchiera. Così facendo, si può verificare che:
le 4 regine ai vertici hanno sotto il loro controllo 14 caselle (6 lungo ogni bordo e 2 verso il centro);
le 4 regine centrali hanno 8 caselle sotto il loro controllo. Dunque, il massimo numero possibile, escludendo le caselle occupate dalle regine è:
14x4 + 8x4 = 88

Spero che sia giusto!

Per il minimo numero, credo che il ragionamento sia simile ma all'inverso -possibile soluzione è disporre le regine sulle diagonali, rispettivamente ad una e due caselle di distanza dal vertice più vicino. Ora provo e vi fo sapere

Megathorybos ha scritto:14x4 + 8x4 = 88

Spero che sia giusto!

considerando che la scacchiera è 8x8 temo di no

D'accordo, se sbaglio anche ora io mi arrendo
Le regine sono 4. Essendo giusto il fatto che bisogna metterle quanto più vicino possibile al centro, avanziamo col seguente metodo. Ovviamente, l'idea che due regine si incontrino sulla stessa colonna/riga è da scartare, perchè si limiterebbero a vicenda. Dunque, bisogna cercare la disposizione possibile più vicina al centro, alle 2 diagonali e contemporaneamente fare in modo che nessuna regina sia sulla stessa traiettoria di un'altra. Quindi, per ognuna delle due righe ogni regina ha 14 caselle sotto al suo dominio. Per quanto riguarda le diagonali, non puo' ovviamente averne ancora 14 (altrimenti incrocerebbe un'altra regina), ma, decentrandola di una posizione, ne ha 6 su un lato e 5 sull'altro. Insomma, il massimo numero di caselle, a regina, è: 7x2+5+6=25. Moltiplicando per 4 abbiamo 100.

Scusa eh ma se la scacchiera è 8x8 allora ci sono 64 caselle...come possono esserne occupate 100?

Alex90 ha scritto:Scusa eh ma se la scacchiera è 8x8 allora ci sono 64 caselle...come possono esserne occupate 100?

Beh, una regina non si muove solo in verticolare o orizzontale, ma anche in diagonale. Per il resto, essendo 4 regine, basterebbe che ognuna di esse disponesse di 17 mosse possibili (per esempio) per invalidare il tuo ragionamento

Megathorybos: ovviamente ti è chiaro che, se 2 regine controllano una stessa casella, questa viene contata una sola volta. Vero?

Megathorybos forse hai inteso male una cosa:
se una casella viene controllata da 2 o + regine, si conta sempre come un'unica casella, non viene contata + volte!!
dunque se in totale le caselle sono 64, le caselle controllabili, potranno essere al massimo 64, dunque 100 è sbagliato...
comunque, continuate a provare

mi chiedo per quale motivo sono sempre preceduto di qualche minuto

con 8 regine è chiaro che si può occupare tutta la scacchiera
con 4 sono riuscito ad occupare 59 caselle, alla spartana, a tentativi.
viva la forza bruta!