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Sia p un primo della forma 8k-1.
Quante soluzioni ha (in $ \mathbb{F}_p ^2 $) l'equazione $ x^2+y^2+1=0 $ ? Di conseguenza, quante coppie non ordinate di residui quadratici ci sono tali che la loro somma fa -1 ?

Questa robaccia si ispira al problema che aveva messo Carlein in "staffetta TdN" e propone di trovare un modo + generale per risolvere problemi di quel tipo..

federiko97 ha scritto: $ \mathbb{F}_p ^2 $

perdonate l'ignoranza,cosa significa quel simbolo? Il due ad apice indica le coppie credo..

gismondo ha scritto:

federiko97 ha scritto: $ \mathbb{F}_p ^2 $

perdonate l'ignoranza,cosa significa quel simbolo? Il due ad apice indica le coppie credo..

Il due ad apice indica le coppie. Invece $ \mathbb{F}_p $ è definito così: sono i numeri da 0 a p-1 e ci sono definite sopra due operazioni: la somma (che è la somma modulo p, cioè tipo se p=7 diciamo che 5+4=2) e il prodotto (che è il prodotto modulo p, cioè se ad esempio p=7 allora c'hai che $ 5\cdot 4=6 $).

In sostanza quindi $ \mathbb{F}_p ^2 $ è un modo più figo per dire "coppie di interi modulo p"

Se non si capisce nulla di quello che ho scritto il messaggio sarà comunque servito a:

1) avvicinare il forum alla soglia dei 100000 messaggi

2) sfoggiare la mia nuova firma

Un piccolo hint: considerate la quantità $ 1-(x^2+y^2+1)^{p-1} $ modulo p. Quanto vale se x,y è soluzione? Quanto vale se x,y non è soluzione?

Bonus question(own)

Siano fissati 4 interi $ 0<a,b,c,d<p $ , con $ p>2 $ primo, tali che $ p-(da+db+dc) $ non sia un residuo quadratico modulo $ p $.

Trovare quante sono le coppie (non ordinate) di $ 0 \le x,y <p $ tali che $ ax^2+bxy+cy^2+d=0 $.

Il numero di soluzioni di quella cosa (o meglio la congruenza modulo p del numero di soluzioni) è $ \displaystyle\sum_{x,y\in\mathbb{F}_p} 1-(x^2+y^2+1)^{p-1}=\sum_{x,y\in\mathbb{F}_p} -(x^2+y^2)^{p-1}=-(p^2-1)=1 $ da cui il numero di soluzioni cercato (visto che ognuna la conto 8 volte) è $ \frac{p+1}{8} $

federiko97 ha scritto: $ \displaystyle\sum_{x,y\in\mathbb{F}_p} 1-(x^2+y^2+1)^{p-1}=\sum_{x,y\in\mathbb{F}_p} -(x^2+y^2)^{p-1} $

potreste chiarirmi questo passaggio?

L'idea è che il monomio $ x^ay^b $ in quella sommatoria possiamo trascurarlo se uno tra a e b è minore di p-1

Infatti $ \displaystyle\sum_{x,y\in\mathbb{F}_p}x^ay^b=\left( \sum_{x\in\mathbb{F}_p}x^a\right) \left(\sum_{y\in\mathbb{F}_p}y^b\right) $ e chiaramente, se a<p-1, allora $ \displaystyle\sum_{x\in\mathbb{F}_p}x^a=0 $ e quindi $ \displaystyle\sum_{x,y\in\mathbb{F}_p}x^ay^b=0 $(e allo stesso modo se b<p-1)

Ciascun monomio della sommatoria che ho trascurato ha grado minore di 2(p-1) quindi o il grado di x o il grado di y è minore di p-1

Chiaro ora?

federiko97 ha scritto:se a<p-1, allora $ \displaystyle\sum_{x\in\mathbb{F}_p}x^a=0 $

si più chiaro ora grazie ...

questo passaggio riesco a giustificarlo solo attraverso l'uso in un generatore modulo $ p $ ed un po' di calcoli... ma il tuo "chiaramente" mi dice chi probabilmente l'hai visto in un modo più facile, sbaglio?

Si col generatore si fa facile,ma un modo divertente che usa un idea abbastanza ricorrente, anche il teorema di eulero fermat si può dimostrare similmente, è il seguente: considera l'elevare a potenza a in Fp, gurda dunque i residui a-esimi: vedremo che il nucleo di quel risultato coincide con il fatto che la somma dei residui a-esimi è 0. Dunque abbiamo due idee in ballo: una vedere che la somma dei residui a-esimi è 0, l'altra vedere che questo implica che la somma in discussione è 0. Iniziamo dalla prima: se a minore di p-1 e positivo, sai che i residui a-esimi non sono tutti 1 e sono chiusi rispetto al prodotto, ora quindi moltiplica tutto per un residuo a-esimo non 1 e confronta le due somme e traine le conseguenze. Per la seconda: prova a trovare una certa omogeneità con cui elevando ad a tutto Fp senza lo 0 ti ritrovi ciascun residuo a-esimo
p.s:l'obiettivo di tutto questo sproloquio è duplice: da un lato fare della pubblicità alla mia soluzione parziale nella staffetta al problema da me proposto sui residui quadratici consecutivi che usa idee piuttosto collegate a queste di su,che secondo me nessuno ha letto,perchè scritta coi piedi(forse oggi la riscrivo,perchè sono dannatamente fiducioso che qualcuno di voi la riesce a completare ). Il secondo più altruista di fare un piccolo esperimento didattico, e far concepire concetti in fin dei conti semplici e profondi, su un caso agevole e toccandoli prima con mano, proprio come,secondo me disgraziatamente, non si fa all università.

davvero carine queste idee... in sostanza se non sbaglio mi dimostri questo fatto particolare, che poi pare duttile e modificabile in vari contesti magari con ipotesi leggermente diverse (anelli, campi generici):

- Dato un sottoinsieme A di F_p se esiste un elemento x diverso da 1 t.c. xA=A, allora la somma degli elementi di A è nulla;

il che è ovvio se per esempio A è sia abbastanza grande (contiene numero diverso da uno) che moltiplicativamente chiuso, il caso in questione...

Per la seconda parte non so se ho ben capito cosa intendi con "certa omogeneità"... concluderei dicendo che la funzione $ f:F^*_p \rightarrow F^*_p x \rightarrow x^a $ è un omomorfismo di gruppi e quindi gli insiemi $ f^-1(m) $ con m nell'immagine dovrebbero essere "coniugati" e quindi con la stessa cardinalità (quella del nucleo)...

Già. si per omogeneità intendevo proprio quello,ma volevo evitare di usare quella nomenclatura e provavo a dirlo in una maniera più familiare perchè non pensavo che tu eri già familiare con quelle cose, e dunque provavo a indurtele su questo caso particolare: in questo consisteva parte del mio miserabile esperimento didattico Ad ogni modo probabilmente altri non sanno che significa ciò che si è detto: nient altro che il numero di elementi che elevati ad a vanno a 1 coincide con il numero di quelli che vanno ad un generico residuo a-esimo.
p.s: come avevo detto al post di prima, ho passato allegramente un oretta a scrivere in una maniera decorosa(spero) quella soluzione nella staffetta, chi a questo punto la dovesse leggere e ne cava fuori qualcosa o pensa di avere qualche idee per finire, mi faccia sapere che ne son contento.

Carlein ha scritto:chi a questo punto la dovesse leggere e ne cava fuori qualcosa o pensa di avere qualche idee per finire, mi faccia sapere che ne son contento.

Oggi, giorno che dovrebbe essere dedicato esclusivamente al BA, pur non essendo ancora riuscito a digerire del tutto il pranzo pasquale, ho dato un'occhiata alle tue idee che in effetti sono piuttosto originali. Resto fermamente convinto che il sistema che ho fatto vedere in questo thread sia infinitamente più efficace, ma vabbeh...

Ora, come si conclude da quello che dici tu?

Un'idea che ti consiglio di guardare è questa: considera un $ t $ tale che $ t^2-1 $ non è un residuo quadratico. Ora, evidentemente, presi x e y in Zp, $ (tx+y)^2-(x+ty)^2=(t^2-1)(x^2-y^2) $ quindi se $ x^2-y^2 $ è un residuo, $ (tx+y)^2-(x+ty)^2 $ è un non residuo, e viceversa.

In più, chiaramente, $ f(x,y)\to (tx+y,x+ty) $ è bigettiva.... (se $ p\nmid t^2-1 $, che tra l'altro è vero per forza, perché avevo posto che $ t^2-1 $ fosse un non residuo)

Tra l'altro, per p congruo a -1 modulo 4, tu avevi fatto la stessa cosa con t=0...

Questo dovrebbe bastarti.... Già che ci sono, buona pasqua!!

Uh cappero ehssì è proprio la versione generale,e un bel pò più sofisticata, al truccazzo che mi era venuto in mente per mettere a posto 3mod4...mah bene almeno ora ho l'anima in pace che l'impostazione generale può reggere per tutto il problema.Grazie mille della collaborazione dunque, e soprattutto bravo per il contributo. Ciao!
p.s: ho creato per completezza un collegamento tra questo tread e il mio post alla staffetta...si lo so che forse avrei dovuto riportare lì per bene a mano quello che dici citandoti: ma mi scoccio ed è tardi ...e poi in effetti non sei stato nemmeno vago quindi non c'è bisogno di riscrivere queste cose di là.

Visto che nessuno l'ha osservato esplicitamente:
Dove si è usato che $ p\equiv -1 \pmod 8 $?
Come cambia il risultato per $ p\equiv 1,3,5 \pmod 8 $? (cfr. p=2)
Spunti di riflessione: In che senso questo problema è "geometrico"? Il fatto che $ x^2+y^2+1=0 $ sia l'equazione di una conica ha qualche utilità? Come cambia il risultato se considero $ x^2-y^2+1=0 $?