Domanda sui gruppi

[gismondo]

Cercavo una dimostrazione del teorema di eulero-fermat e mi sono imbattuto in una che utilizza i gruppi...
Ho letto che le classi di resto modulo N costituiscono un gruppo G ciclico con generatore 1...
Se fosse così, allora se k appartiene a G, k^card(G)=e
La domanda è: gli elementi, per costituire un gruppo ciclico, devono essere primi con N?
Perche se consideriamo le classi di resto modulo 4 ad esempio, abbiamo G{0,1,2,3} la cardinalità è 4 però 2^4 non è congruo a 1 mod 4
se invece lascio solo i coprimi diventa G{1,3} e in effetti 3^4 è congruo a 1 mod 4...
spero di essere stato chiaro, grazie

[Tibor Gallai]

Stai facendo un grossissimo casino, secondo me perché vuoi mettere il carro davanti ai buoi.
Se vuoi veramente imboccare la strada "didatticamente innaturale" dello studiare i gruppi prima di capire le cose concrete, ti consiglio di seguirla sul serio, e non con l'intento di applicarla ad un caso specifico. Studia i gruppi in senso astratto, e quando sei arrivato a dimostrare il teorema di Fermat per tutti i gruppi, vedi come si specializza per le classi di resto.

[gismondo]

Penso che hai ragione proprio ragione
Volevo solo sapere questa cosa specifica, ma probabilmente è inutile senza che mi legga un po di teoria (cosa che difficilmente farò )
Grazie lo stesso

[hydro]

Il problema è che stai confondendo la struttura di gruppo additiva e quella moltiplicativa. Le classi di resto modulo n formano sempre un gruppo con l'operazione di somma, mentre se le vuoi moltiplicare devi prendere solamente quelle che rappresentano numeri primi con n. Ad esempio con gli elementi di $ \mathbb{Z}_4 $ puoi avere un gruppo moltiplicativo solamente se prendi la classe di 1 e la classe di 3. Allora hai un gruppo con 2 elementi, e infatti $ 3^2 \equiv 1 \mod 4 $.