Faccio alcune premesse:
In un qualunque triangolo ,facendo uso delle usuali notazioni,risulta:
1) $ \displaystyle m_a<\frac{b+c}{2} $
2)$ \displastyle m_a^2<\frac{b^2+c^2}{2} $
Per dimostrare la (1) è sufficiente esaminare la fig.1 dove D è l'intersezione
tra il prolungamento del lato BA del triangolo ABC e la parallela alla mediana
AM condotta da C.
Per dimostrare la (2) è sufficiente elevare al quadrato la (1) e tener conto che :
$ \displaystyle 2bc \leq b^2+c^2 $
Inoltre ,limitando le nostre considerazioni al piano euclideo,si dice che una funzione f(P) ,definita
nei punti di detto piano,è convessa in esso se per qualunque coppia di punti (P,Q) sussiste la
relazione:
$ \displaystyle f(\frac{P+Q}{2})\leq \frac{f(P)+f(Q)}{2} $
dove $ \displaystyle \frac{P+Q}{2} $ rappresenta il punto medio M del segmento PQ
Per il caso (a) da esaminare la funzione è f(P)=AP+BP+CP
Applichiamo allora la (1) ai triangoli APQ,BPQ,CPQ (fig.2) e alle rispettive
mediane AM,BM,CM ( essendo ABC un qualunque triangolo del piano euclideo e P,Q una qualsiasi
coppia di punti di detto piano con M punto medio):
$ \displaystyle AM< \frac{AP+AQ}{2} $
$ \displaystyle BM< \frac{BP+BQ}{2} $
$ \displaystyle CM< \frac{CP+CQ}{2} $
Sommando avremo:
$ AM+BM+CM<\frac{1}{2}[(AP+BP+CP)+(AQ+BQ+CQ)] $
Ovvero:
$ \displaystyle f(\frac{P+Q}{2})\leq \frac{f(P)+f(Q)}{2} $
La funzione in questione ( caso (A)) è dunque convessa in tutto il piano.
Applicando la (2) si giunge alla medesima conclusione per il caso (C).
Per il caso (D) la funzione da studiare è f(P)= somma distanze di P dai lati di ABC.
Indichiamo allora con $ P_i,Q_i,M_i $ le proiezioni ortogonali di
P,Q,M sui lati del triangolo ABC ( fig.4).Per un noto teorema sui trapezi si ha:
$ \displaystyle MM_i=\frac{PP_i+QQ_i}{2} $ con i=1,2,3
Sommando queste ultime 3 relazioni avremo:
$ \displaystyle \sum _iMM_i=\frac{\sum_iPP_i+\sum_iQQ_i}{2} $
Ovvero:
$ \displaystyle f(\frac{P+Q}{2})=\frac{f(P)+f(Q)}{2} $
Pertanto anche nel caso (D) la funzione è convessa in tutto il piano
Il caso (B) è l'unico nel quale la funzione f(P)=PA*PB*PC non è
convessa in tutto il piano .Basta prendere ,ad esempio,P coincidente con B
e Q con C (fig.3) per verificare facilmente che la definizione di convessità non è soddisfatta dalla coppia (B,C).
