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Sia dato un polinomio $ p(x) \in\mathbb{Q}[x] $ di terzo grado.

Mostrare che se "tocca" l'asse x, allora ha 3 radici razionali.



Nb. Con "tocca" intendo che il grafico scende(risp.sale) almeno subito prima di A, in A fa zero, e subito dopo A comincia a salire (risp.scendere)..

wlog p(x) è monico
$ $p(x)=x^3+ax^2+bx+c=(x-A)^2(x-B) $
inoltre A è soluzione di p'(x) (perchè la funzione p(x) ha un massimo/minimo in quel punto), quindi è una radice algebrica di secondo grado, ossia della forma m+r, con m razionale e r radice quadrata di un razionale.
considerando che $ $-a=2A+B $ ho che anche B è della forma n+s, con n razionale e s radice quadrata di un razionale.
Allora avremo
$ $2r+s=0 $, poichè $ $-a=2A+B $ è razionale e inoltre
$ $-c=(m+r)^2(n+s) $ deve essere razionale
Svolgendo i conti e sostiutuendo $ $s=-2r $ otteniamo:
$ $m^2n+r^2n+2mnr-2m^2r-2r^3-4mr^2 $ razionale
ma $ $r^2 $ è razionale quindi
$ $2mnr-2m^2r-2r^3 $ razionale
$ $r(2mn-2m^2-2r^2) $ razionale, ma l'espressione in parentesi è razionale quindi r dovrebbe essere razionale.
Da cui p(X) ha tre radici razionali, di cui due coincidenti.

Un'altro approccio:

supponiamo che p sia irriducibile in $ \mathbb{Q}[x] $ Allora p(x) è coprimo con p'(x), assurdo perché p ha una radice doppia. Quindi p si scompone nei razionali da cui segue abbastanza facilmente la tesi.

federiko97 ha scritto:... Allora p(x) è coprimo con p'(x)...

Ehi non vale

@Giulius, si pare che funzioni, bravo