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Un quadrilatero $ ABCD $ è inscritto in una circonferenza e le sue diagonali si incontrano in $ Q $. Il lato $ DA $, prolungato verso $ A $, e il lato $ CB $, prolungato verso $ B $, si incontrano in $ P $. Se $ CD = CP = DQ $, trovare $ \widehat{CAD} $.

Secondo me vale 60 gradi. Non sono in grado di fare la figura quindi tento di spiegarmi in simboli.
Posizioni di partenza: chiamo β l'angolo DCQ = DQC (perché angoli di un triangolo isoscele per ipotesi); anche l'angolo AQB vale β perché opposto al vertice di DQC; ma anche l'angolo DBA vale β perché insiste sullo stesso arco di DCQ (l'arco è AD). Chiamo invece α gli angoli CDP e CPD perché fanno parte di un triangolo isoscele (per ipotesi). Chiamo infine x l'angolo incognito DAC, che è congruente a DBC perché insistono sullo stesso arco DC.
Passiamo allo svolgimento vero e proprio; nel triangolo ABP si svolga la somma degli angoli interni: (180-x-β) + α + [180 - x - (180 - 2β)] = 180. Con un paio di passaggi si ottiene che α + β = 2x. Ora si calcoli l'angolo CDA = α come somma degli angoli CDQ e QDA: α = (180 - 2β) + [180 - x - (180 - β)], da cui si ottiene
α + β = 180 - x. Unendo i due risultati si ha α + β = 2x = 180 - x; e se 2x = 180 - x allora x = 60. Se non ho sbagliato qualcosa...

Esatto! Per una soluzione con più tex e figura http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... p?t=269395

Sono contento. Alla mia età non sono ancora tanto arrugginito. E sorprendentemente non ho sbagliato i conti.