Siano $ i,j \in \{R,B\} $ i pedici che rappresentano il colore della pallina, sia $ n \in \mathbb{N} \setminus \{0,1\} $ fissato, e sia definito $ a_{n,ij} \in \mathbb{N} $ il numero di sequenze di palline di lunghezza $ n $ e che iniziano con le prime due palline con colori $ i $ e $ j $ e che naturalmente rispettano l'ipotesi del problema.
Sia inoltre $ \displaystyle a_n= \sum_{i,j}{a_{n,ij}} $ il numero di sequenze di lunghezza $ n $, senza il vincolo sul colore delle prime due palline. Le ipotesi del problema sono equivalenti a:
i) $ a_{n+1,RR}=a_{n,RR}=0, \forall n \in \mathbb{N} $.
ii) $ a_{n+1,RB}=a_{n,BB}+a_{n,BR}, \forall n \in \mathbb{N} \setminus\{0,1\} $.
iii) $ a_{n+1,BR}=a_{n,RB}, \forall n \in \mathbb{N} \setminus\{0,1\} $.
iv) $ a_{n+1,BB}=a_{n,BR},\forall n \in \mathbb{N} \setminus\{0,1\} $.
Quello che ne possiamo ricavare è qualcosa di molto simpatico:
$ a_{n+1}=\displaystyle \sum_{i,j}{a_{n+1,ij}}=a_{n+1,RB}+a_{n+1,BB}+a_{n+1,BR}= $
$ =(a_{n,BB}+a_{n,BR})+(a_{n,BR})+(a_{n,RB})= $
$ =(a_{n-1,BR}+a_{n,BR})+(a_{n-1,RB})+(a_{n-1,BB}+a_{n-1,BR})= $
$ =(a_{n-2,RB}+a_{n-1,RB})+(a_{n-2,BB}+a_{n-2,BR})+(a_{n-2,BR}+a_{n-1,BR})= $
$ =(a_{n-2,RB}+a_{n-1,RB})+(a_{n-2,BB}+a_{n-1,BB})+(a_{n-2,BR}+a_{n-1,BR})= $
$ =(a_{n-1,RB}+a_{n-1,BB}+a_{n-1,BR})+(a_{n-2,RB}+a_{n-2,BB}+a_{n-2,BR})= $
$ =a_{n-1}+a_{n-2}, \forall n \in \mathbb{N}\setminus\{0,1\} $.
Abbiamo la ricorsione, con il vincolo (ricavabile "all'indietro"): $ a_0=a_1=a_2-1=2 $.
[Questo è quanto ci basta con due conti per affermare che $ a_{19}=351 $..]
Passiamo ora a trovare la formula chiusa di $ \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} $: siano $ \alpha, \beta, \gamma $ le tre radici del polinomio caratteristico $ p(x)=x^3-x-1 $.
Dato che $ deg(p(x)) \in 2\mathbb{N}+1 $ possiamo assumere senza perdità di generalità che $ \alpha \in \mathbb{R} $.
Una piccola nota di cultura generale su
Cardano (mi auguro qui che la buona percentuale dei lettori ne conoscano già la dimostrazione) ci fornisce il valore di $ \displaystyle \alpha= \sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}-\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}} $ (circa 1,324..) (*)
Un veloce grafico sull'intersezione delle curve $ x^3 $ e $ x+1 $ ci fa subito vedere inoltre che $ (\beta, \gamma) \in (\mathbb{C} \setminus \mathbb{R})^2 $, ma $ \beta=\overline{\gamma} $ per cui esistono $ (c,d) \in \mathbb{R}^2 $ tali che $ d \neq 0 $, $ \beta=c+id $ e $ \gamma=c-id $.
Ricordando che $ p(\alpha)=p(\beta)=p(\gamma)=0 $ abbiamo $ p(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) $ da cui otteniamo $ \beta+\gamma=2c=-\alpha $ e $ \displaystyle \beta\gamma=c^2+d^2=\frac{1}{\alpha} $.
Abbiamo quindi ottenuto anche il valore delle altre due radici complesse, dove wlog $ \displaystyle \beta=\overline{\gamma}=-\frac{\alpha}{2}+i\sqrt{\frac{4-\alpha^3}{4\alpha}} $. (**)
Notiamo qui che $ |\beta|=|\gamma|=\sqrt{c^2+d^2}=\sqrt{\frac{1}{\alpha}}<1<\alpha $. (***)
Esistono adesso $ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 $ tali che $ a_n=x\alpha^n+y\beta^n+z\gamma^n, \forall n \in \mathbb{N} $.
Imponiamo i vincoli su valori "piccoli" di $ n $ e otteniamo tale tripla, infatti per quanto detto prima vale:
i) $ x\alpha^0+y\beta^0+z\gamma^0=2 $
ii) $ x\alpha^1+y\beta^1+z\gamma^1=2 $
iii) $ x\alpha^2+y\beta^2+z\gamma^2=3 $.
Che, eliminando la i), è equivalente a:
iv) $ x (\alpha-\gamma) + y (\beta-\gamma)=2-2\gamma $
v) $ x (\alpha^2-\gamma^2) + y (\beta^2-\gamma^2)=3-2\gamma^2 $.
Ma questo è un sistema di Cramer, con soluzione $ \displaystyle (x,y)=(\frac{(2-2\gamma)(\beta^2-\gamma^2)+(\gamma-\beta)(3-2\gamma^2)}{(\alpha-\gamma)(\beta^2-\gamma^2)+(\gamma-\beta)(\alpha^2-\gamma^2)}, $ $ \displaystyle \frac{(\alpha-\gamma)(\beta^2-\gamma^2)+(2\gamma-2)(\alpha^2-\gamma^2)}{(\alpha-\gamma)(\beta^2-\gamma^2)+(\gamma-\beta)(\alpha^2-\gamma^2)}) $. (****)
Bene, abbiamo finito, e possiamo concludere:
è la valida la formula $ \displaystyle a_n=x \alpha^n + y \beta^n + z\gamma^n, \forall n \in \mathbb{N}\setminus \{0,1\} $,
dove $ \alpha $ è stata definita dalla (*), $ (\beta, \gamma) $ dalla (**), e $ (x,y) $ dalla (****), con $ x+y+z=2 $.
Da notare inoltre che grazie alla (***), poichè $ 0<|\beta|=|\gamma|<|\alpha| $ , vale $ \displaystyle \lim_{n\to + \infty}{\frac{a_{n+1}}{a_n}}= \alpha $.
Io ho pensato di limitare i casi da 6 a 10 palline rosse,infatti se se ne hanno di più o di meno il problema nn può essere risolto, ma poi mi perdo nei calcoli...come faccio a calcolare velocemente quante serie valide ci siano con 10 palline blu e 8 rosse?