Si consideri il triangolo ABC ed internamente ai lati AB ed AC si fissino rispettivamente i punti E e D tali che risulti :
AE:BE=4:3 , AD:CD=7:2
Sapendo che è BF:CF=9:4, essendo F l'interesezione tra BD ed EC,dimostrare che i punti B,C,D,E sono conciclici .
Punti conciclici
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¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
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per menelao su ABD e trasversake EF otteniamo $ \displaystyle \frac{DF}{BF} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{9}{2}=1 $ e per menelao su ECA e trasversale DF etteniamo $ \displaystyle \frac{EF}{CF} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{7}{3}=1 $
ma i punti DEBC sformano un quadrilatero ciclico sse $ \displaystyle BF \cdot DF = CF \cdot EF \ \Longleftrightarrow \ BF^2 \cdot \frac{8}{27} = CF^2 \cdot \frac{3}{2} \ \Longleftrightarrow \ \frac{BF}{CF} = \frac{9}{4} $
ma i punti DEBC sformano un quadrilatero ciclico sse $ \displaystyle BF \cdot DF = CF \cdot EF \ \Longleftrightarrow \ BF^2 \cdot \frac{8}{27} = CF^2 \cdot \frac{3}{2} \ \Longleftrightarrow \ \frac{BF}{CF} = \frac{9}{4} $