OliForum Matematico

Uhm, facendo dei contacci per risolvere un problema SNS è venuto fuori questo bizzarro fatto:

Sia E un ellisse di fuochi A e B. Sia P l'intersezioni di AB con E dalla parte di A. Sia C il centro del cerchio osculatore per il punto P rispetto a E (in pratica è la circonferenza che approssima meglio la curva in quel punto).

Si dimostri che P,C,A,B sono una quaterna armonica.

P.S. La "dimostrazione per conti" non vale, cercavo un motivo profondo di questo fatto...

P.P.S. Immagino che centri qualcosa con il fatto che la forza centripeta è $ \displaystyle\frac{v^2}{R} $ dove R è il raggio del cerchio osculatore (se volete potete partire da questo - invece che dall'altra definizione di C - per dimostrare la tesi)

Io ho provato a fare quello che hai detto, ho considerato una massa m in P, una massa M in A, chiamo AP=d, a e` il semiasse maggiore. Ora, la forza centripeta in P e` $ $m\frac{v^2}{r} = \frac{GMm}{d^2}$ $, da cui ho v in funzione di R; dalla conservazione dell'energia del sistema ottengo $ $R = \frac{(2a-d)(d)}{a}$ $, e ora devo solo osservare che torna il rapporto. Non penso che questo sia il motivo profondo che cercavi Tu hai fatto cosi`? O hai calcolato R nell'altro modo?

Non so se sia questo il problema a cui ti riferisci, ma ragionando "al contrario", trovando $ R $ agli estremi di un ellisse in funzione del semiasse maggiore si può risolvere elegantemente la prima parte del problema. Sarebbe interessante risolvere elegantemente in modo "geometrico", senza usare l'analisi.
Con un po' di contacci mi ricordo che usando (completamente a caso, senza pensarci) per $ R $ agli estremi dell'asse maggiore i valori $ a - c $ e $ a + c $ (dove $ c $ è la semidistanza focale) usciva qualcosa di quasi corretto dal punto di vista fisico. Ora purtroppo devo andare a studiare...

No, era un problema leggermente diverso... In ogni caso mi sto rendendo conto che imporre che l'energia meccanica sia uguale in "perielio" e in "afelio" (o come si chiamano) risolve tutto in maniera abbastanza facile (@ stefanos: forse non è proprio questo il motivo profondo, ma non ci avevo pensato e se ti facessi vedere come ho fatto io rabbrividiresti...)

Potreste dare la definizione di quaterna armonica?

Inoltre, come hai trovato quella formula per R? Hai usato solo la conservazione dell'energia o anche quella del momento angolare? Perché perielio e afelio sono punti in cui la componente radiale (in coordinate polari) della velocità è 0, ma la velocità tangenziale è diversa da 0. Mi sa che bisogna usare le due conservazioni per risolvere il problema.

Potremmo impostare il problema come geometrico partendo da una circonferenza tangente in due punti dell'ellisse simmetrici rispetto all'asse, e considerando che al limite i due punti di tangenza coincidono. Poi da lì non so andare avanti.