OliForum Matematico

Sia $ P(x) \in \mathbb{R}[x] $ un polinomio tale che, se $ q \in \mathbb{R} $ allora $ P(q) \in \mathbb{Q} $ se e solo se $ q \in \mathbb{Q} $.

Mostrare che esistono $ (a,b) \in \mathbb{Q}^2 $, con $ a \neq 0 $, tali che $ P(x) = ax+b $.

jordan ha scritto:$ P(x) = ax+b $.

Deve valere per ogni valore di $ x $?

non ho capito cosa chiedi....esposto cosi mi sembra che tu chieda di dimostrare che ogni polinomio $ P(x)=ax+b $ con $ a,b \in \mathbb Q $ soddisfa le condizioni, però lo escludo perchè sarebbe troppo semplice. Quindi mi viene da pensare che quello che il problema richiede è dimostrare che è l'unico a soddisfarle...può essere?

Quello che ha scritto jordan (per una volta ) si capisce.

Supponi di camminare un giorno per le strade del reame dei polinomi a coefficienti reali e incontri un buffo tizio (un polinomio ovviamente) di nome P(x), che ti dice, borioso e vaniloquente,
"Ma lo sai? Se tu mi dai un numero razionale, io ti restituisco un numero razionale ed ogni volta che io ti restituisco un numero razionale vuol dire che tu mi hai dato un numero razionale. Non ci credi? prova! dai prova! dammi qua, ... 1,3, 5/6, 189/345, quello che vuoi, vai!!"
Allora tu lo smonti subito:
"Ah, ah, bella forza, tu sei ax+b con a,b razionali e a non nullo... ci credo che ad ogni razionale dai un razionale e ad ogni irrazionale dai un irrazionale..."
E quello
"Come fai a saperlo??"
E tu, forte della dimostrazione che non hai ancora dato al quesito di Jordan,
"Eh eh, siete tutti così, voi che date un razionale se e solo se vi è stato dato un razionale."
E quello se ne va mogio e bastonato.

Chiaro?

carina la storiella, dovrebbero essere tutti cosi i problemi
comunque l'avevo inteso nel modo giusto allora

EvaristeG ha scritto:Quello che ha scritto jordan (per una volta ) si capisce.

Addirittura?

Grazie. Scusate se faccio domande banali,ma ho sempre paura di scrivere c***ate nelle dimostrazioni! Comunque ho cancellato il mio messaggio,dato che ora ho capito